§ 22.3. Теорема Пуассона.
Если 
интегралы уравнений Гамильтона, принадлежащие классу 
то 
также является интегралом. Доказательство весьма простое. Имеем
Следовательно,
Согласно тождеству Пуассона (22.2.8) полученное выражение обращается в нуль. Таким образом, 
представляет собой интеграл.
Теорема Пуассона не столь плодотворна, как это может показаться на первый взгляд. По двум известным интегралам можно определить третий интеграл, затем четвертый и т. д. Однако в ряде случаев вновь получаемый интеграл оказывается тождественным нулем или зависит от уже найденных интегралов. Очевидно, что процесс составления новых интегралов не может продолжаться до бесконечности, поскольку существует не более 
независимых интегралов.
Предположим, что II не содержит 
стало быть, представляет собой интеграл. Если 
есть другой пространственный интеграл, то скобка 
тождественно равна нулю, и теорема Пуассона в этом случае ничего нового не дает. Если же 
есть интеграл, зависящий от 
то
и мы снова приходим к известному факту (§ 21.1), что 
представляет собой интеграл.
Но иногда теорема Пуассона позволяет получать интеграл, не зависящий от исходных. В качестве примера рассмотрим движение частицы под действием притяжения к центру О. Сила притяжения пусть будет функцией расстояния 
от точки 
Возьмем прямоугольные координаты 
начало координат поместим в центре О. Тогда будем иметь
где V есть функция 
Массу частицы мы положили равной единице. Если
то 
есть интеграл уравнений Гамильтона. Аналогично
также есть интеграл. Эти два интеграла суть интегралы момента количеств движения. Согласно теореме Пуассона 
также есть интеграл, и
так как два других определителя обращаются в нуль. Далее,
и новый интеграл есть третий интеграл момента количеств движения.
