§ 5.9. Качение тела.

Ранее были указаны два простых, хотя и несколько искусственных примера неголономных систем: кривая преследования (§ 1.8) и планиметр (§ 2.1). Наиболее часто с неголономными системами мы встречаемся в задачах, связанных с качением одного тела по другому. Рассмотрим твердое тело, положение и ориентация которого в пространстве определяются шестью координатами: (см. § 5.1, п. 5). Для заданной частицы тела

и для произвольного перемещения имеем

и два аналогичных соотношения. В равенстве (5.9.2) координаты и с постоянны. Если частица находится в покое, то

Если уравнение (5.9.3) относится все время к одной и той же частице тела, то его можно проинтегрировать; проделав это, получим

и два аналогичных равенства. В этом случае тело имеет одну неподвижную точку, система является голономной с тремя степенями свободы и остается рассмотреть лишь вопрос об ориентации тела при его вращении около неподвижной точки. Если же соотношение (5.9.3) в различные моменты времени относится к различным частицам (например, к частицам, находящимся в точке контакта тела с поверхностью, по которой оно катится), то уравнение (5.9.3) и два аналогичных уравнения не являются вполне интегрируемыми и система в целом оказывается неголономной.

Аналогичные замечания справедливы и в том случае, когда частица не находится в покое, а движется с заданной скоростью причем известные функции от t. Уравнение (5.9.3) заменится при этом следующим:

Подобно предыдущему, если — координаты одной и той же частицы, то система голономна. В этом случае мы имеем твердое тело, одна точка которого совершает заданное движение. Если же, например, — координаты точки контакта тела с движущейся поверхностью, по которой катится тело, то в различные моменты времени с принимают различные значения, и система оказывается неголономной.

В качестве иллюстрации рассмотрим классический пример качения сферы радиуса по идеально шероховатой горизонтальной плоскости. Предположим, что плоскость вращается с угловой скоростью около точки О, лежащей в этой же плоскости. Выберем неподвижную систему координат с началом в точке О и осью направленной вертикально вверх. Положение тела в момент t будем определять координатами точки контакта (так что центр сферы будет иметь координаты а ориентацию тела — эйлеровыми углами (Подробнее об углах Эйлера будет сказано в § 7.11, а сейчас для наших целей нам нужны будут лишь определение этих углов и матрица Первое условие качения (5.9.5) записывается в виде

и так как суть координаты точки касания сферы с плоскостью, то

где радиус сферы. Таким образом, условие (5.9.6) принимает вид

Подчеркнем, что при составлении равенства (5.9.6) координаты a, b, с считаются постоянными, поскольку речь идет о движении частицы, фиксированной в сфере. Но в различные моменты времени мы имеем дело с различными частицами, и, чтобы получить уравнение (5.9.8), справедливое во все моменты времени, координаты с следует заменить новыми переменными согласно соотношению (5.9.7). При выполнении преобразования (5.9.8) путем непосредственной подстановки значений не возникает сколько-нибудь серьезных трудностей. Тем не менее вычисления можно упростить, если учесть следующее. Направляющие косинусы оси по отношению к движущейся системе равны Поэтому вектор является постоянным, и, следовательно,

где угловая скорость тела или, что то же, движущихся осей Обращаясь теперь к выражению фигурирующему

в уравнении (5.9.8), можем написать

где через обозначен вектор а через вектор Скалярное произведение представляет собой составляющую вектора угловой скорости вдоль оси Равенство (5.9.8) принимает теперь вид

С другой стороны,

и соотношение (5.9.8) окончательно записывается в виде

Мы получили первое из двух уравнений связи для неголономной системы.

Заметим, что равенство (5.9.11) можно получить, выбрав систему координат с началом в точке и осями, сохраняющими неизменное направление и параллельными соответственно осям Тогда первое условие качения запишется в форме

эквивалентной (5.9.11). Этот путь, правда, несколько короче предыдущего, но мы им не воспользовались, так как хотели проиллюстрировать изложенный выше метод.

Аналогичным образом получаем второе условие качения:

Третье условие заключается в том, что

Легко видеть, что уравнения Пфаффа (5.9.13) и (5.9.15) не допускают интегрируемых комбинаций. Система неголономна и имеет три степени свободы; наименьшее число лагранжевых координат, необходимых для определения положения и ориентации системы, равно пяти. В качестве таких координат можно выбрать . В данном примере