ГЛАВА II. ЦЕПНАЯ ЛИНИЯ

§ 2.1. Цепная линия

Линия равновесия абсолютно гибкой и нерастяжимой однородной нити, находящейся в поле силы тяжести, называется цепной линией, В более широком смысле под цепной линией понимается линия равновесия тяжелой неоднородной и растяжимой нити. В этом параграфе мы рассмотрим однородную нерастяжимую цепную линию.

Силы тяжести, действующие на каждый элемент нити, направлены вертикально вниз и, следовательно, параллельны между собой. Поэтому цепная линия является плоской кривой (см. § 1.2). Для вывода уравнения цепной линии совместим начало координат с ее вершиной О, ось у направим вертикально вверх, а ось х горизонтально так, чтобы координатная плоскость являлась плоскостью нити (рис. 2.1). Как было показано ранее (см. примечание к формуле (1.1.12)), модуль силы для однородной тяжелой нити равен весу единицы длины нити причем При данном выборе координатных осей будем иметь: Подставляя значение во второе уравнение (1.2.16), получим

где проекция натяжения нити на

Рис. 2.1.

горизонтальную ось Из первого уравнения (1.1) найдем

Подставим это выражение для во второе уравнение (1.1) и учтем равенство

Тогда после разделения переменных уравнение (1.1) примет вид

где

Интегрируя полученное уравнение, найдем

Здесь постоянная интегрирования. Из последнего равенства будем иметь

Интегрируя еще раз, получим уравнение цепной линии

где новая постоянная интегрирования.

Уравнения ценной линии (2.6) можно получить, конечно, и с помощью других методов, в частности, если воспользоваться результатами § 1.3 (см. формулы (1.3.10)-(1.3.14)).

Так как при выбранной системе координат ось у проходит через вершину цепной линии, касательная к которой параллельна оси х (рис. 2.1), то при Внося эти значения для х ну равенство (1.5), получим Следовательно, уравнение (1.6) примет вид

Учтем теперь, что цепная линия проходит через начало координат Поэтому и последнее уравнение принимает каноническую форму

Это уравнение получено практически одновременно Лейбницем, Гюйгенсом и Иоганном Бернулли.

Рис. 2.2.

В технических приложениях обычно задается взаимное расположение точек закрепления (пролет I и превышение рис. 2.2), а также длина цепной линии (или другой какой-нибудь ее элемент). При этих условиях приходится определять не только параметр а, входящий в уравнение (1.7), но и положение начала координат относительно точек закрепления (заметим, что начало координат может и не принадлежать цепной линии — рис. 2.2, б).

Обозначим расстояние по горизонтали и вертикали от вершины О до верхней точки закрепления А через соответственно, т. е. положим величина называется стрелой провисания для краткости мы будем употреблять этот термин и в общем случае при Тогда координаты точки В будут: Внесем координаты точки А в уравнение (1.7)

Подставим теперь в уравнение (1.7) координаты точки 5 и используем при этом полученное значение для После очевидных упрощений получим

Вычислим дифференциал дуги ценной линии, для чего внесем в равенство (1.3) значение производной у из (1.5), учтя при этом, что при выбранной системе координат постоянная Имеем

На основании хорошо известной формулы для гиперболических функций

получим

Интегрируя это равенство от до найдем длину цепной линии

Пользуясь равенствами (1.2), (1.4) и (1.11), найдем натяжение

или, учитывая уравнение (1.7),

Заметим, что это равенство очень просто получается также и из интеграла натяжения (1.4.5). Действительно, для силы тяжести потенциальная энергия

следовательно, интеграл натяжения принимает вид

Постоянную с найдем из условия, что в вершине нити при натяжение (см. рис. 1.7). Таким образом, и интеграл натяжения (1.16) принимает форму (1.14).

Равенство. (1.14) позволяет дать простую интерпретацию параметра а. Проведем горизонтальную прямую на расстоянии а от йершины цепной линии О (рис. 2.3, а). Пользуясь рисунком и равенством (1.14), найдем, что натяжение нити в любой ее точке равно весу нити, длина которой равна расстоянию от данной точки до прямой

Рис. 2.3.

Из этого следует, что тяжелая однородная нить, лежащая на двух бесконечно малых блоках, будет в равновесии, если свободные концы ее опущены ниже вершины на расстояние (рис. 2.3, б).

Все элементы цепной линии легко определяются, если известны параметры Их вычисление зависит от

условий задачи. Мы рассмотрим три наиболее распространенные схемы расчета цепной линии.

1-я схема. Заданы вес единицы длины нити ее длина пролет I и превышение

Воспользуемся следующими формулами для гиперболических функций:

С помощью этих формул преобразуем равенства (1.12) и (1.9) к виду

Деля второе равенство на первое, получим

Если (точки закрепления находятся на одном уровне), то из этого равенства найдем: результат, очевидный из условия симметрии. Если же но мало отношение то гиперболический тангенс можно заменить на его аргумент

Отсюда

Эта приближенная формула дает ошибку меньше 1,5% при

Возведем теперь оба равенства (1.18) в квадрат и вычтем из первого равенства второе. Тогда, учитывая формулу (1.10), получим после очевидных преобразований

Положив

приведем уравнение (1.21) к виду

Заметим, что параметр Действительно, длина нити больше расстояния между точками закрепления и 5, т. е. Сравнивая с (1.22), получим Каждому значению к отвечает один положительный корень уравнения (1.23), которое легко решается на

Таблица 2.1 (см. скан) Корни уравнения

ЭВМ, графическим, табличным или аналитическим методами. В таблице 2.1, составленной с помощью ЭВМ, приведены корни уравнения (1.23) для различных значений k.

Порядок вычисления основных параметров цепной линии очевиден.

Пример. Длина нити пролет превышение одной опоры над другой вес погонного метра нити Определить основные параметры цепной линии.

Прежде всего вычисляем число к:

С помощью интерполяции по таблице 2.1 найдем Пользуясь формулой (1.22), определим параметр а:

Применим теперь формулу (1.19)

По таблицам гиперболических функций [21] находим 26 — 1

(приближенная формула (1.20) дает

Стрелу провисания найдем по формуле (1.8) и таблицам гиперболических функций

Горизонтальная составляющая натяжения Натяжения в точках закрепления найдем по формуле (1.14), учтя при этом, что

Реакции опор равны по модулю натяжениям Та соответственно.

2-я схема. Даны стрела провисания точки закрепления (числа I и h) и вес единицы длины нити

Если точки подвеса находятся на одном уровне то и уравнение (1.8) принимает вид

Найдя из этого уравнения число вычислим затем параметр а, после чего длина нити натяжение в точках горизонтальная составляющая натяжения найдутся по формулам (1.12), (1.14) и (1.4) соответственно.

Если же опоры находятся на разных уровнях то положим

Отсюда

Внесем эти значения для в равенства (1.8) и (1.9), после чего представим их в следующем виде:

Эта система двух трансцендентных уравнений легко решается на ЭВМ. Найдя при данных числа и по формулам (1.26) определяем после чего обычным путем вычисляются остальные величины.

3-я схема. Цепная линия с одним свободным концом (задача о натяжении якорной цепи).

Имеются интересные задачи, в которых один конец цепной линии свободен и может неремещаться. Мы рассмотрим одну из таких задач на примере якорной цени.

Пусть якорная цепь удерживает судно, находящееся под воздействием установившегося ветра, причем будем считать, что влиянием течения можно пренебречь (гидро- и аэродинамическое давление на нить рассматриваются в главе V). При этих условиях якорная цепь будет находиться в равновесии под действием сил тяжести (конечно, с учетом архимедовой силы), т. е. примет форму цепной линии.

Судно под действием ветра будет неремещаться до тех нор, пока сила давления ветра не уравновесится горизонтальной составляющей Н натяжения якорной цени. Считая, что сила давления ветра на судно (в положении равновесия она равна определена из аэродинамических характеристик судна и скорости ветра (внешняя информация для нити), придем к следующей задаче: при известной горизонтальной составляющей натяжения и одной закрепленной точке В (рис. 2.4) требуется определить основные параметры якорной цени. Для полного решения задачи нужно задать еще длину цени глубину моря в месте якорной стоянки и вес единицы длины цени в воде

Так как судно (верхняя точка А) может перемещаться, то при достаточно большой длине цепи последняя частично ляжет на дно и собственно ценная линия будет начинаться не от якоря В, а от точки О, в которой цепь отделяется от дна (рис. 2.4, а).

Решение задачи можно осуществить в следующей последовательности. По известной величине горизонтальной составляющей натяжения и по заданному значению находим параметр Предположим, что якорная цепь не лежит на дне и имеет одну общую точку В (рис. 2.4, б). Тогда, пользуясь формулой (1.21) и таблицами гиперболических функций, найдем отношение

а затем число Из равенства (1.19), зная по таблицам найдем сначала после чего вычислим

Затем следует рассмотреть два возможных случая, а. Случай

Рис. 2.4.

Это означает, что точка В (якорь) принадлежит цепной линии (рис. 2.4, б), и найденные значения для можно использовать для дальнейших расчетов: по формуле (1.8) определяется стрела после чего по (1.14) находятся натяжения в точках

Случай Это неравенство означает, что часть якорной цепи лежит на дне и цепная линия начинается в точке О (рис. 2.4, а). Расчет нужно производить в другой последовательности. Точка О является вершиной цепной линии и, следовательно, а стрела Пользуясь формулой (1.8), получим

Зная по таблицам найдем а затем и Длину участка якорной цепи найдем по формуле (1.12) при

Общее расстояние но горизонтали от судна до якоря определяется равенством

где , Остальные параметры вычисляются обычным способом.

Пример. Сила давления ветра на судно вес погонного метра цепи в воде глубина вытравлено цепи.

Находим вносим в формулу (1.21):

По таблицам [21] находим Отсюда По формуле (1.19) имеем

По таблицам находим

Отсюда Так как часть троса лежит на дне и, следовательно, вычисления нужно вести по формулам (1.28) и (1.29). Имеем:

На дне лежит цепи. Расстояние по горизонталй от судна до якоря

Мы закончим этот параграф разбором одного очень важного для приложений случая малой стрелы провисания. Для простоты изложения рассмотрим цепную линию, граничные точки закрепления которой находятся на одном уровне Стрела провисания называется малой, если она мала по сравнению с пролетом

Вернемся к равенству (1.24). При правая и, следовательно, левая части этого равенства будут близки к единице. На этом основании можно разложить в ряд до стеценям и ограничиться первыми двумя

членами

Теперь равенство (1.24) принимает вид

или, учитывая, что

Далее, если число мало по сравнению с единицей, то будет мало и число (так как Поэтому, разлагая правую часть уравнения (1.7) в ряд по степеням и ограничиваясь принятой точностью, получим

Таким образом, цепная линия с малой стрелой провисания достаточно точно совпадает с отрезком параболы. Мы не останавливаемся здесь на этом вопросе более подробно, так как цепной линии с малой стрелой провисания будет посвящена вся третья глава.