§ 1.2. Дифференциальные уравнения равновесия нити

Рассмотрим гибкую нить, находящуюся в равновесии под действием распределенных сил. Возьмем на нити произвольную точку и достаточно близкую к ней точку пусть точке соответствует дуговая

координата а точке дуговая координата Мысленно выделим отрезок нити и рассмотрим все силы, действующие на него (рис. 1.6). Прежде всего, на отрезок нити действуют распределенные силы, главный вектор которых равен, согласно Кроме того, в точке действует сила а в точке сила Так как участок нити но условию находится в равновесии, то геометрическая сумма всех приложенных к нему сил должна равняться нулю

или, деля на и учитывая, что

Рис. 1.6.

Переходя к пределу в предположении, что точка стремится по кривой равновесия к точке получим

Здесь и в дальнейншем под понимается, конечно, равнодействующая всех распределенных сил, отнесенных к единице длины нити и приложенных к точке

Векторное дифференциальное уравнение (2.1) равновесия идеальной нити, справедливое как для нерастяжимой, так и для растяжимой нити, является основным, и из него могут быть получены дифференциальные уравнения равновесия нити в других формах.

Для вывода уравнения (2.1) мы не делали никаких предположений о направлении вектора натяжения Докажем, что натяжение нити направлено по касательной. Для этого составим уравнения моментов. Обозначим через радиусы-векторы точек соответственно (рис. 1.6). Тогда уравнение моментов примет вид

Разность первых двух членов равна Поэтому, разделив последнее равенство на получим

Переходя к пределу при найдем

Дифференцируя произведение, будем иметь

или, группируя члены,

где орт касательной.

Принимая во внимание уравнение (2.1), получим

Из этого равенства следует, что векторы и параллельны, а так как они имеют общую точку то вектор натяжения нити направлен по касательной (в § 1.1 это было принято ).

Если считать это обстоятельство известным, то дифференциальные уравнения (2.1) и (2.2) эквивалентны. Мы будем, как правйло, пользоваться уравнением (2.1), как более простым.

Пусть нить ориентирована относительно прямоугольной декартовой системы координат Возьмем на нити произвольную точку с координатами проведем в этой точке касательную к нити. Как известно, направляющие косинусы касательной (проекции вектора определяются равенствами

где углы между касательной и осями координат соответственно,

Так как вектор направлен по касательной, то проекции его на координатные оси будут равны

где модуль натяжения в точке

Проектируя обе части векторного уравнения (2.1) на координатные оси, получим

Здесь проекции силы на соответствующие координатные оси.

При решении конкретных задач используются чаще всего уравнения (2.5) или уравнения, получающиеся из них путем несложных преобразований. Поэтому остановимся на этих уравнениях несколько подробнее.

Будем, как и прежде, считать, что положение точки на нити определяется ее дуговой координатой Тогда координаты точек нити х, у, z, а также модуль натяжения будут функциями параметра

причем первые три равенства определяют уравнения кривой равновесия нити в параметрической форме. Дуговая координата точки и декартовы координаты той же точки связаны известным соотношением

Это уравнение определяет неинтегрируемую (неголоножную) дифференциальную связь, которой должны удовлетворять координаты точки нити.

Уравнения (2.5) содержат производные второго порядка по относительно трех координат первого порядка относительно (эти производные возникают при дифференцировании членов, стоящих в скобках). Общий интеграл такой системы должен содержать, вообще говоря, семь произвольных постоянных, но поскольку существует одна связь (2.7), независимых постоянных будет только шесть. Поэтому общее решение можно представить в следующей форме:

Произвольные постоянные интегрирования определяются из граничных условий на концах нити.

Если кроме непрерывно распределенной нагрузки имеются сосредоточенные силы, приложенные к одной или нескольким внутренним точкам, то нить нужно разбить на части, на которые она делится этими точками. Пусть число сосредоточенных сил и, следовательно, число угловых точек равно Тогда число участков будет и для каждого из них имеется свое решение, содержащее в общем случае шесть произвольных постоянных. Все произвольных постоянных найдутся из граничных условий, из которых шесть, как и прежде, отвечают концам нити и точкам приложения сосредоточенных сил (для каждой точки три условия определяют ее равновесие и три условия — общую точку двух участков нити).

Если нить и все силы, приложенные к ней, находятся в одной плоскости (будем считать, что это плоскость то вместо трех уравнений (2.5) будем иметь только два уравнения:

причем координаты подчинены неголономной связи

Общее решение уравнений (2.8) зависит от четырех независимых произвольных постоянных и имеет вид

Во многих задачах, имеющих прикладное значение, распределенные силы не зависят явно от криволинейной координаты В этом случае целесообразно исключить координату из уравнений равновесия. Это можно сделать, например, следующим образом. Найдем из равенства (2.9) дифференциал дуги (для сокращения выкладок мы приводим все преобразования и вид общего решения для плоской системы):

Поело подстановки в (2.8) получим

Общее решение уравнений (2.12) имеет вид

Это решение полностью определяет кривую равновесия нити и ее натяжение причем роль независимой переменной играет не вспомогательная величина 5, а координата X, Это решение имеет еще и то преимущество, что содержит не четыре, а три произвольных постоянных которые определяются из граничных условий.

Рассмотрим частный случай параллельных сил. Построим систему координат так, чтобы ось у была параллельна силам. Тогда и два уравнения (2.5) примут вид

Отсюда

Деля почленно полученные равенства, найдем

или, разделяя переменные и интегрируя,

Полученное уравнение определяет в пространстве плоскость, параллельную оси у. Так как координаты любой точки нити должны удовлетворять этому уравнению, то, следовательно, под действием параллельных сил нить располагается в плоскости, параллельной силам. Не нарушая общности, можно считать, что плоскость нити совпадает с плоскостью Тогда третье уравнение (2.5) обращается в тождество и задача сводится к интегрированию уравнений

где

Постоянная имеет простой физический смысл — она равна проекции натяжения нити на ось х, т. е. на прямую, перпендикулярную силам (см. первое равенство (2.4)).

Рис. 1.7.

Таким образом, во всех точках нити, находящейся в равновесии под действием параллельных сил, проекция натяжения на направление, перпендикулярное силам, есть величина постоянная. На рис. 1.7 показана нить, находящаяся под действием сил, параллельных оси у, Натяжения и в точках имеют

различные направления и модули, но их составляющие по оси X равны между собой.

В некоторых случаях полезно воспользоваться уравнением моментов (2.2), которое в проекциях на координатные оси эквивалентно трем уравнениям

Если сила находится в одной плоскости с какой-нибудь осью, то ее момент относительно этой оси равен нулю. Это дает интеграл моментов. Так, если то из первого уравнения (2.17) получим

Наличие этого интеграла может существенно упростить решение задачи.

В заключение остановимся на некоторых особенностях применения уравнений равновесия к растяжимым нитям. Во всех уравнениях этой книги означает дифференциал дуги, находящейся в рассматриваемом состоянии нити, в частности, если нить растяжима, то дифференциал дуги растянутой нити. В тех случаях, когда на растянутую нить одновременно действуют массовые и поверхностные силы, их следует строго различать (для нерастяжимой нити это различие не имеет значения). Массовые силы отнесенные к единице длины растянутой нити, нужно выражать по формуле (1.15)

где сила, отнесенная к единице массы нити, — величина, в отличие от известная.

Поверхностные силы обычно зависят от диаметра нити, который в большинстве случаев при растяжении нити практически не изменяется (см. примечание

к формуле (1.1.8)). Поэтому можно считать, что поверхностные силы при растяжении нити остаются без изменения (в крайнем случае нужно учесть формулу (1.1.8)).

Таким образом, если на растяжимую нить одновременно действуют массовые и поверхностные силы, то уравнение равновесия (2.1) будет иметь вид

Заметим, что в некоторых статьях и книгах все силы, действующие на нить, считаются массовыми. Поэтому в этих работах основное уравнение равновесия (2.1) для растяжимой нити преобразуется к следующей форме (с точностью до обозначений):

Это приводит к ошибочным результатам, когда в силу включают не только массовые, но и поверхностные силы (например, силы давления потока, силы сопротивления среды и т. п.).