§ 1.8. Интегральные методы

Основное уравнение равновесия нити (2.1) характеризует условие равновесия не конечного участка нити, а одного ее элемента. Поэтому это уравнение, так же как и все другие уравнения §§ 2—6, полученные из него, носят дифференциальный характер. Представляет интерес составить такие уравнения, которые отражали бы условия равновесия не одного элемента нити, а конечной ее части. В этом случае уравнения равновесия будут носить не дифференциальную, а интегральную форму.

Рассмотрим вначале равновесие всей нити, находящейся под действием распределенных и сосредоточенных сил Для простоты изложения будем считать, что нить плоская и концы нити закреплены. Введем систему координат, совместив начало осей с точкой закрепления нити А (рис. 1.13). Разложим реакции точек закрепления на составляющие рассматривая равновесие всей нити, составим уравнения проекций:

где оба криволинейных интеграла первого рода

вычисляются по длине всей нити, уравнение которой нам неизвестно. Наличие интегралов создает определенные трудности в применении уравнений (8.1), но в некоторых случаях эти уравнения могут быть эффективно использованы для определения величин что может упростить решение всей задачи (см. главу III).

Рис. 1.13.

Рис. 1.14.

Рассмотрим теперь равновесие участка нити где произвольная точка нити с координатами х и у. Участок нити находится в равновесии под действием активных распределенных и сосредоточенных сил, реакции точки закрепления А и силы натяжения которую нужно приложить к точке чтобы заменить действие отброшенной части нитд

(рис. 1.14). Уравнения проекций имеют вид

В этих уравнениях длина нити на участке а суммы проекций сосредоточенных сил относятся только к тем силам, которые действуют на этом участке нити.

Составим теперь уравнение моментов относительно точки Моменты сил будут, очевидно, равны

где координаты точек приложения сосредоточенной силы и распределенной силы соответственно (см. рис. 1.14).

При вычислении суммы (интеграла) моментов распределенных сил нужно иметь в виду, что меняются только координаты текущей точки а координаты остаются без изменения. На этом основании сумму моментов распределенных сил относительно точки можно представить так:

Заменим в этом выражении на и не вынося конечно, за знак интегралов. Тогда уравнение моментов конечного участка нити можно записать в следующей форме:

где момент всех активных (распределенных и сосредоточенных) сил относительно точки мысленного разреза нити — определен равенством

Три уравнения (8.2), (8.3) решают поставленную задачу: они определяют условия равновесия не одного элемента нити, а конечного участка ее.

Рассмотрим частный случай, когда все активные силы параллельны и направлены в одну сторону. Выбрав координатную систему так, чтобы ось у была параллельна силам, будем иметь Из первого уравнения (8.2) найдем

т. е. проекция натяжения на направление, перпендикулярное силам, одинакова во всех точках нити (так как левая часть равенства (8.5) вычисляется в любой точке нити, а величина не зависит от выбора точки нити (см. примечания к уравнениям (2.16)). Уравнение (8.3) принимает теперь вид

Если сила отнесенная к единице длины нити, зависит только от положения точки нити, т. е. то, учитывая равенство последнему уравнению можно придать вид

Уравнение (8.7) можно рассматривать как нелинейное интегро-дифференциальное уравнение относительно неизвестной функции В некоторых случаях уравнение (8.7), а также уравнения (8.3) и (8.6) существенно упрощаются и тогда они сразу определяют линию равновесия нити (см. главу III). В общем случае эти уравнения можно использовать для приближенных вычислений.

В заключение отметим, что в терминах сопротивления материалов уравнения (8.3), (8.6) получаются из условия равенства нулю изгибающего момента в любой точке нити.