§ 3.3. Влияние сосредоточенной силы

Пусть однородная нить с малой стрелой провисания находится в равновесии. Требуется определить, как изменится форма нити и ее натяжение, если в точке С с абсциссой к нити будет приложена сосредоточенная сила направленная вертикально вниз (рис. 3.6).

Рис. 3.6.

Мы будем решать задачу методом, применимым к любым силам. В данном случае на оба участка нити и действуют равномерно распределенные по горизонтальной прямой вертикально направленные силы. Поэтому каждый участок нити совпадает с отрезком соответствующея параболы, уравнения которых запишем в форме (2.1)

причем первое уравнение относится к участку нити а второе — к участку считается также, что каждому

участку нити соответствует своя горизонтальная составляющая натяжения нити

Для определения неизвестных воспользуемся прежде всего граничными условиями: при при причем первое условие относится к уравнению (3.1), а второе — к уравнению (3.2).

Имеем

Еще одно равенство получим из условия, что обе параболы имеют общую точку С:

Два уравнения получим из условия равновесия точки С. На эту точку действуют три силы: сосредоточенная сила направленная по условию задачи вертикально вниз, сила реакции правой части нити равная ее натяжению в этой точке, и сила реакции левой части нити, равная по модулю ее натяжению в точке С и направленная в противоположную сторону, т. е. (см. рис. 1.2 и 3.6). Так как точка С находится в равновесии, то должно выполняться следующее векторное равенство:

В проекциях на оси координат будем иметь

где углы между касательными к соответствующим параболам и осью х в точке С. Слагаемые в уравнении (3.5) равны горизонтальным составляющим натяжения

Поэтому из уравнения (3.5) получим

Из формул (3.8) и (3.7) найдем

Внесем эти значения для в уравнение (3.6)

или, учитывая, что

где — производные по вычисленные от функций (3.1) и (3.2) в точке Имеем

Равенство (3.9) примет теперь вид

где безразмерный параметр х определен равенством

Решая совместно уравнения (3.3), (3.4) и (3.10), найдем

Здесь, как обычно,

Прежде чем перейти к дальнейшему, заметим, что в данном примере для определения постоянных и 62 можно было использовать уравнение равновесия в интегральной форме (1.8.6), которое в нашем случае принимает вид

Мы не пользуемся этим уравнением, так как оно применимо практически только к горизонтально

распределенной нагрузке и не обладает общностью изложенного выше метода.

Для полного решения задачи осталось найти один неизвестный параметр а. Для его определения выразим длину нити через Для этого достаточно проинтегрировать выражение (1.18), разбив промежуток интегрирования на два промежутка и Имеем

где длины соответствующих участков нити. Складывая, получим длину всей нити

или, раскрывая скобки и учитывая равенство (3.10),

Если внести сюда значения и из равенств (3.12), то получится квадратное уравнение относительно параметра а; взяв положительный корень, найдем затем При это решение в общем виде будет выглядеть несколько громоздко, но в каждом конкретном случае довести его до конечного результата не представляет никакого труда.

Дальнейшее исследование мы проведем в предположении, что обе граничные точки находятся на одном уровне, т. е. при Будем считать, что нить без сосредоточенной силы определялась пролетом I и стрелой Тогда все ее параметры будут определены равенствами (2.20)

Найдем изменение горизонтальной составляющей натяжения нити при действии сосредоточенной силы Пользуясь равенством (3.15) и значением из (3.16) и учитывая, кроме что нить нерастяжима, получим

Внеся сюда значения и из (3.12) при и произведя элементарные преобразования, найдем

Отсюда

Из этого выражения видно, что горизонтальная составляющая натяжения нити зависит от точки приложения сосредоточенной силы Найдем экстремальные значения Имеем

В точках максимума и минимума что дает

Из полученных выражений видно, что горизонтальная составляющая натяжения имеет только одно экстремальное значение, когда сосредоточенная сила приложена в середине пролета. Легко проверить, что в этой точке имеется максимум, равный

На рис. 3.7 показана зависимость горизонтальной составляющей натяжения от относительной координаты точки приложения сосредоточенной силы Зависимость дана в долях где при График

построен по формуле

которая легко получается сравнением равенств (3.18) и (3.16).

Рис. 3.7.

Из графика видно, что значение горизонтальной составляющей натяжения нити быстро растет с увеличением модуля сосредоточенной силы (напомним, что