§ 9.3. Задача Аппеля

С цилиндра, ось которого О движется горизонтально и поступательно с постоянной скоростью сматывается с той же скоростью и укладывается на горизонтальную плоскость однородная и нерастяжимая нить (рис. 9.3). Движение провисаюгцего участка нити А В происходит в среде, оказывающей сопротивление. Требуется определить форму и натяжение свободного участка нити. Эта задача, поставленная впервые Аппелем, моделирует прокладку кабеля в море. Мы рассмотрим две трактовки этой задачи, первая из которых принадлежит Аппелю.

Рис. 9.3.

Построим поступательно перемещающуюся систему координат связанную с цилиндром. Эта система движется с постоянной скоростью V, Ил условия задачи следует, что относительная скорость двияения нити равна по модулю переносной скорости т. е. Не располагая, по-видимому, экспериментальными данными, Аппель рассмотрел простейший случай, когда сила сопротивления среды пропорциональна первой степени скорости и направлена в сторону, противоположную скорости (результаты испытаний

аэродинамических лабораторий, приведенные в § 5.1, получены спустя несколько десятилетий после работы Аппеля). Таким образом, Аппелю, к точке нити приложены следующие силы, отнесенные к единице длины (рис. 9.3, а): сила тяжести сила сопротивления относительному движению сила сопротивления переносному движению Проекции равнодействующей этих сил на касательную и главную нормаль будут (см. рис. 9.3, а)

Подставим эти выражения в уравнения (1.11) и учтем, что

Введя вспомогательный угол по формулам

мы преобразуем уравнения (3.2) к виду

где

Уравнения (3.4) совпадают по форме с уравнениями (2.8). Отличие содержится в равенствах (2.13) — в данном случае они примут вид

Это отличие приводит к несколько иному, чем (2.14), решению, которое мы приводим без промежуточных выкладок (читатель без труда может провести их самостоятельно):

где

Рассмотрим теперь эту задачу с учетом результатов аэродинамических испытаний, приведенных в § 5.1. Нить участвует в сложпом движении. Сила сопротивления среды относительному движению нити представляет обычную силу трения и она может быть вычислена по формуле (5.1.2) при нулевом угле атаки В переносном движении трос набегает на среду со скоростью направленной горизонтально (рис. 9.3, б). Сила сопротивления переносному движению равна силе давления на неподвижную нить потока, движущегося со скоростью (см. замечание на стр. 103). Поэтому угол атаки Согласно § 5.1 эту силу можно разложить на три составляющих:

Пренебрежем, как обычно, боковой составляющей (для кабеля, заключенного в специальную оболочку, она просто равна нулю (см. § 5.1)) и включим касательную составляющую (обе эти силы направлены по одной прямой). В этих предположениях на точку нити будут действовать следующие силы, отнесенные к единице длины: сила тяжести нити в среде касательная сила сопротивления и сила направленная по нормали к нити, как показано на рис. 9.3, б. Согласно (5.1.1) — (5.1.3) модуль этой силы определяется равенством

В проекциях на касательную и главную нормаль уравнения (1.11) примут вид

Деля первое уравнение на второе и учитывая, что для плоской линии получим

Отсюда

где

В обгцем случае является функцией угла атаки — при этом (для вычисления следует воспользоваться графиком на рис. 5.2). Если то интеграл (3.13) можно выразить через элементарные функции. Однако при этом получается сравнительно сложное выражение, которое для численных расчетов менее удобно, чем непосредственное вычисление интеграла (3.13) на ЭВМ.

Пальзуясь вторым уравнением (3.10) и равенствами (2.13), найдем уравнения провисающей части нити

при этом учтено, что в точке А угол

Длина провисающей части нити определяется обычным приемом. Из равенств (3.10) и (3.12) имеем

отсюда

Форму линии можно построить по точкам, пользуясь уравнениями (3.14).

Для растяжимой нити нужно в уравнениях (3.10) массовую силу заменить на а поверхностные силы оставить без изменения (см. окончание примера § 9.2).