ГЛАВА VII. РАВНОВЕСИЕ НИТИ НА ПОВЕРХНОСТИ

§ 7.1. Равновесие нити на гладкой поверхности

Пусть нить находится на гладкой поверхности, уравнение которой в прямоугольной декартовой системе координат приведено к виду При отсутствии трения (поверхность гладкая) на нить в рассматриваемой точке помимо обычной распределенной силы будет действовать реакция поверхности, направленная по нормали к последней (рис. 7.1). Конечно, обе силы отнесены, как обычно, к единице длины нити. Так как градиент функции есть вектор, направленный по нормали к поверхности то реакция поверхности отличается от только скалярным множителем Я

Теперь уравнение (1.2.1) принимает вид

или

В проекциях на оси декартовых координат имеем (см. сноску на стр. 26) уравнения

которые совместно с уравнениями

определяют в функции Когда будет найдено, то нормальная реакция определится из (1.1). Уравнение (1.2) можно записать в следующей форме:

Проектируя это уравнение на оси естественного трехгранника построенного в рассматриваемой точке кривой равновесия нити, получим

Кроме этих, введем другие уравнения, которые получаются из векторного уравнения (1.6) при проектировании его на оси, связанные с поверхностью (рис. 7.2).

Рис. 7.1.

Рис. 7.2.

Для этого построим сначала орты касательной и главной нормали к кривой равновесия нити (плоскость содержащая эти орты, является соприкасающейся плоскостью). Затем построим касательную плоскость I и нормаль к поверхности, а также плоскость III, проходящую через нормаль и касательную к

кривой равновесия нити. Направим орт нормали к поверхности в сторону вогнутости нормального сечения (кривой полученной пересечением поверхности плоскостью радиус кривизны этого сечения обозначим через Наконец, в касательной плоскости I построим орт так, тройка векторов образовала правый ортогональный триэдр (очевидно, что векторы лежат в одной плоскости).

Спроектируем теперь уравнение (1.6) на учтя при этом, что реакция гладкой поверхностей направлена по нормали Имеем

угол между ортами

Примем во внимание, что (знак «плюс», если реакция поверхности совпадает с направлением и знак «минус» — в противоположном случае). Теперь уравнения (1.8) примут

Согласно теореме Менье (см. любой курс дифферент циальной геометрии)

где, как отмечено выше, радиусы кривизны в точке кривой равновесия нити и нормального сечения соответственно. Поэтому уравнепия (1.9) можно записать и так:

Уравнения (1.9) или (1.11) называются естественными уравнениями равновесия нити на поверхности, величина радиусом геодезической кривизны нити, а угол углом геодезического отклонения.

Заметим, что радиус кривизны нормального сечения поверхности и радиус геодезической кривизны нити зависят не только от самой поверхности и положения точки но и от положения нити на поверхности (точнее, от направления касательной к нити). Поэтому пользоваться этими уравнениями наиболее целесообразно в тех случаях, когда равновесное положение нити на поверхности известно (см. § 7.2) или для общих выводов (см. пример 1). В тех случаях, когда требуется определить форму (уравнения) кривой равновесия нити на гладкой поверхности, лучше пользоваться дифференциальными уравнениями равновесия нити (1.4). Во многих случаях более полезными оказываются уравнения равновесия нити в обобщенных координатах (1.5.17) (при вычислении обобщенных сил нужно учесть, конечно, реакцию поверхности

Пример 1. Геодезические линии. Рассмотрим растянутую на гладкой поверхности нить и будем считать, что активными силами можно пренебречь Тогда уравнения (1.11) примут вид

Из первого уравнения найдем, что во всех точках такой нити натяжение будет одинаково; из третьего уравнения следует, что угол геодезического отклонения нити равен нулю. Это означает, что в каждой точке нити ее главная нормаль совпадает с нормалью к поверхности (рис. 7.2). Линии, лежащие на поверхности и обладающие таким свойством, называются геодезическими линиями. Поэтому, если нить, массой которой можно пренебречь, пропустить через два отверстия на гладкой поверхности и натянуть, то в равновесном положении она расположится по геодезической линии. Напомним, что для сферы геодезическими линиями служат дуги большого круга, а для кругового цилиндра — винтовые линии.

Пример 2. Цепная линия на гладкой сфере. Закрепим две точки тяжелой однородной нити на верхней внешней стороне гладкой сферы. Обозначим, как обычно, вес единицы длины нити через Тогда на каждый элемент нити будут действовать две силы: Направим ось z вертикально вверх и воспользуемся сферическими координатами (см. рис. 1.12 и 7.3). Так как сила тяжести потенциальна, то будет справедлив интеграл натяжения (1.4.5) (см. замечание к равенству (1.4.8)). В нашем случае будем иметь

где потенциальная энергия силы тяжести, радиус сферы.

Если воспользоваться этим интегралом, то из трех уравнений равновесия нити в сферических координатах (1.5.30) независимых будут только два. Для сферы Поэтому первое и третье уравнения (1.5.30) и уравнение связи (1.5.29) примут вид

где проекции равнодействующей сил координатные линии Из рис. 7.3 видно, что Внесем эти значения для в первые два уравнения (1.13) и заменим квадратную скобку в первом уравнении на ее значение из третьего уравнения. Тогда получим

Рис. 7.3.

Из первого уравнения находим нормальное давление а из второго еще один интеграл

где новая постоянная интегрирования (множитель введен для удобства). Заметим, что новый интеграл равновесия имеет простой физический смысл — это интеграл момента натяжения относительно оси выраженный не через декартовы координаты, как это сделано в а через сферические координаты. Наличие этого интеграла следует из того, что моменты сил и относительно оси равны нулю. Использование уравнений равновесия в сферических координатах дало этот интеграл автоматически без каких-либо физических рассуждений и дополнительных преобразований (его можно получить из интеграла (1.2.18) переходом от декартовых к сферическим координатам) — в этом состоит одно из преимуществ метода обобщенных координат.

Возведем второе равенство (1.14) в квадрат, заменим через его значение из третьего уравнения (1.13), а натяжение

заменим из (1.12). Тогда после очевидных преобразований получим

или

Ось X построим так, чтобы нижней точке цепной линии на сфере отвечало значение угла пусть при этом В этой точке (предполагается, что нить целиком лежит на сфере и нигде не свисает с нее) производная Учитывая это, выразим с помощью равенства (1.15) постоянную интегрирования черев 00 и С:

Разделяя в (1.15) переменные и интегрируя, ползгчим О

Заметим, что подстановкой этот интеграл сводится к эллиптическому интегралу.

Полученное равенство определяет уравнение цепной линии на гладкой сфере радиуса Если кроме значения известны координаты точек закрепления то постоянная С найдется из (1.17): или . При численных значениях заданных величин определение с помощью ЭВМ постоянной С не представляет труда. Длину дуги от вершины цепной линии до любой ее точки можно вычислить по формуле

которая получается (1.14) и (1.15). Таким образом, если известно положение вершины цепной линии на сфере и координаты точек закрепления ее, то все элементы нити легко вычисляются по формулам При необходимости читатель без труда составит схему расчета при задании других граничных условий (этой задаче посвящено много работ — см. библиографию в [2]).