§ 9.4. Относительное равновесие вращающейся нити

Рассмотрим однородную перастяжимую нить, вращающуюся вместе с координатной системой с угловой скоростью 0) вокруг неподвижной оси предполагается, что оба конца нити укреплены на оси вращения (рис. 9.4, а). В установившемся движении нить будет находиться в равновесии относительно системы координатных осей Если пренебречь силой тяжести и сопротивлением воздуха (корректность этих предположений обсуждается в конце параграфа), то на пить будет действовать только одна центробежная сила инерции. Численное значение ее, отнесенное к единице длины нити, равно расстояние от рассматриваемой точки до оси вращенпя, а как обычно, линейная плотность нити.

Так как центробежные силы инерции, действующие на точки нити, пересекают ось вращения х, то момент этих сил относительйо оси х будет равен нулю: этого следует что момент сил

натяжения относительно этой оси постоянен вдоль всей нити. Но нить прикреплена к двум точкам оси, поэтому моменты сил натяжения на концах равны нулю. Следовательно, этот момент будет равен нулю всюду. Согласно (1.2.18) будем иметь

отсюда

или, интегрируя,

где С — постоянная. Из этого уравнения видно, что фигура равновесия находится в плоскости, проходящей через ось вращения Не нарушая общности, можно считать, что нить находится в плоскости Тогда, пользуясь рис. 9.4, б, получим: Подставляя в (1.12), получим два уравнения относительно равновесия вращающейся нити

(Конечно, применяя принцип Даламбера, эти уравнения можно получить из обычных уравнений равновесия нити

Из первого уравнения имеем

где проекция натяжения на ось Найдем из этого равенства и внесем его во второе уравнепие (4.1)

Введем обозначение

И учтем очевидное равенство

Теперь уравнение (4.3) примет вид

или, интегрируя,

где новая постоянная интегрирования (мнояштель введен для удобства) должна быть положительной (ибо левая часть положительна). Решая последнее уравнение относительно получим

Легко видеть, что должно выполняться неравенство

Действительно, нить прикреплена к оси следовательно, при последнее уравнение должно иметь вегцествепное значение для

Разделяя переменные и интегрируя, получим у

Из этого выражения видно, что ордината у может изменяться в интервале ), так как вне его подкоренное выражение в (4.8) будет отрицательно.

Интеграл, стоящий в правой части равенства (4.8), нельзя выразить через элементарные функции (его легко свести к эллиптическим функциям), но, анализируя его, легко построить примерный график функции определяемой этим равенством, т. е. построить линию относительного равновесия вращающейся нити. Допустим, что график функции (4.8) начинается в точке А (рис. 9.5, а) и хотя бы часть его расположена в углу Тогда х сначала возрастает вместе с у, производная у положительна и в правой части равенства (4.8) нужно брать знак «плюс». С возрастанием у

будет увеличиваться и Когда у достигнет своего предельного значения , абсцисса х сделается равной

где многочлен, стоящий под знаком радикала в (4.8). В результате получается ветвь Касательная в параллельна оси х, поэтому с этого значения ордината у начнет убывать и, следовательно, Для того чтобы абсцисса х продолжала возрастать, в правой части равенства (4.8) нужно взять знак «минус». Так получается вторая ветвь симметричная с первой ветвью относительно ординаты

Рис. 9.5.

При О получается точка с абсциссой В дальнейпхем ветвь линии пойдет влево, и мы получим вторую половину Таким образом, равенство (4.8) определит периодическую функцию с периодом При заданных построить по точкам график этой функции не представляет труда. Для этого интеграл, стоящий в правой части (4.8), можно свести к эллиптическим функциям, а затем воспользоваться таблицами этих функций; конечно, еще проще все вычисления провести на ЭВМ.

Применим полученные результаты к анализу форми относительного равновесия вращающейся нити. Если дана однородная нерастяжимая нить длины и даны точки закрепления на оси АВ (пролет ), то из вышеизложенного следует, что равномерно вращающаяся нить может иметь бесчисленное количество форм относительного равновесия, состоящих из одной, двух, трех и т. д. полуволн (рис. 9.5, б). Естественно, что практически будет реализована только одна, устойчивая, форма равновесия, которой соответствует линия с одной полуволной. (Это интуитивно очевидное утверждение строго доказано Пожарицким

Рассмотрим, как определяются неизвестные параметры для нити, состоящей из одной полуволны. Будем считать, что заданы расстояние I между точками длина нити Из изложенного ранее следует, что вершине нити точке С соответствует абсцисса Пользуясь равенством (4.8), получим первое уравнение

Применяя равенства (4.6) и (4.7), найдем дифференциал дуги

Теперь найдем второе уравнение

При заданных уравнения (4.10) и (4.12) можно решить на ЭВМ и найти неизвестные параметры Затем из равенства (4.4) определится и — заданы), после чего натяяение вращающейся нити найдается из (4.2) и (4.6):

Это же выражение для натяжения нити можно получить из интеграла натяжения (1.4.5). Действительно, в сделанных предположениях сила, действующая на нить, консервативна и ее потенциальная энергия, отнесенная к единице длины нити, определяется равенством

или, учитывая (4.4),

Интеграл натяжения (1.4.5) примет теперь вид

Постоянную найдем из условия: при Внося эти значения для и в (4.16), получим равенство (4.13).

Из (4.13) найдем натяжения на концах нити

Если через обозначить максимальное отклонение нити от оси вращения х, то будем иметь

Как видно из изложенного, наибольшие трудности встретятся при численном решении уравнений (4.10) и (4.12).

Приведсппое здесь решение, принадлежащее П. Аппелю [2], значительно упрощается (см. [19]) для достаточно пологих нитей, когда длина вращающейся нити мало отличается от расстояния I между точками закрепления этих предположениях угол а между касательной к нити и осью вращения х будет тоже мал и, следовательно, производная будет мала по модулю по сравнению с единицей: На этом основании, разлагая в уравнении (4.5) радикал в ряд по степеням у и ограничиваясь низшими членами,

получим

или

где, как и прежде, новая постоянная интегрирования. Отсюда находим

Разделяя переменные и интегрируя, будем иметь

Так как пить проходит через точку А с координатами то постоянная и, следовательно,

Это общее решение задачи для пологой вращающейся нити. Постоянную интегрирования а найдем из условия, что нить проходит через вторую точку закрепления: Подставляя эти значения для в (4.20), получим

Отсюда

Теперь решение (4.20) принимает вид

Из этого решения видно, что в сделанных предположениях нить имеет бесчисленное множество форм относительно равновесия, каждая из которых состоит из одной, двух, трех и т. д. полуволн синусоиды в (4.22)

равно числу полуволн). Таким образом, приближенное и полное решения качественно не отличаются друг от друга (см. рис. 9.5, б).

Для определения постоянной вычислим длину дуги. Имеем

или, учитывая сделанное предположение о малости

Пользуясь равенством (4.22), найдем производную у и внесем ее в это равенство

Интегрируя в пределах от О до найдем после очевидных преобразований длину нити

Отсюда

Внося это выражение для в (4.22), получим окончательную форму уравнения относительного равновесия вращаюгцейся нити (конечно, в сделанных предположениях)

Проекцию натяжения на ось вращения х найдем из равенств (4.21) и (4.4)

Натяжение можно определить из равенства (4.2). Имеем

Пользуясь равенствами (4.24) и (4.25), получим

в заключение остановимся на правомочности сделанных с самого начала допущений. Прежде всего, мы предположили, что можпо пренебречь силой тяяести по сравнению с центробежной силой инерции Это равносильно усиленному неравенству

где расстояние от точки нити до оси вращения.

Совершенно очевидно, что даже при большой угловой скорости со это неравенство не может быть выполнено для точек нити, расположенных достаточно близко к оси вращения, когда очень мало. Таким образом, полученное решение не дает верных значений параметров нити для точек, находящихся вблизи граничных точек и точек пересечения нити с осью вращения (для форм равновесия с несколькими полуволнами). Наименьшую погрешность в расчетных формулах будем иметь для нити с одной полуволной (рис. 9.5, б) и с большим отклонением от оси вращения, т. е. для случая, когда должна применяться теория, изложенная в начале параграфа (формулы (4.1) -(4.18)).

Пренебрегая теперь погрешностью в вычислениях для точек, расположенных в непосредственной близости от оси вращения, оценим значение угловой скорости Пользуясь соотношением (4.27), найдем

Для точек, отстоящих от оси вращения на расстоянии 1 см, будем иметь: со что соответствует 300 об/мин. Из этого следует, что для быстро вращающихся нитей (угловые скорости, превосходящие 3000 об/мин, типичны для многих технологических процессов, в которых нить участвует во вращательном движении), пренебрежение силой тяжести по сравнению с центробежной силой инерции не дает большой погрешности (если не считать небольших

участков нити, непосредственно прилегающих к граничным точкам).

Второе допущение, сделанное в самом начале, состоит в предположении, что можно пренебречь силами сопротивления воздуха. При больших угловых скоростях вращения нити это допущение может привести к значительным погрешностям (в следующем параграфе эти силы будут учтены).