§ 9.5. Форма «баллона»

Большой интерес для теории и различных приложений имеет задача о контурно-вращательном движении нити. В простейшем виде это движение реализуется следующим образом. Нить протягивается с постоянной скоростью через нитепровод А, затем проходит через бегунок 5, движущийся с постоянной скоростью по кольцу К, и далее наматывается на бобину (початок, катушку) (на рис. 9.6, а бобина не показана). Таким образом, нить, увлекаемая бегунком, равномерно вращается вокруг неподвижной вертикальной оси z и одновременно, наматываясь на бобину, имеет постоянную относительную скорость. В результате действия сил сопротивления воздуха и кориолисовых сил инерции нить в установившемся движении принимает форму линии

Рис. 9.6.

двоякой кривизны. При большой угловой скорости вращения нити 0) (в некоторых современных прядильных машинах она достигает 11—12 тысяч глаз наблюдателя воспринимает непрерывно сменяющиеся положения нити как поверхность, которую называют баллоном.

Теорией баллона занимались многие ученые (впервые достаточно строго ее поставил Минаков [17]) и ей посвящена большая литература (относительно полную библиографию можно найти в [19]). В рамках настоящей книги мы можем изложить только основные вопросы этой теории.

Введем вращающуюся систему координат направив ось по неподвижной оси вращения нити вертикально вверх, ось х проведем через бегунок В, а ось у — перпендикулярно осям система осей правая. Во вращающихся осях (рис. 9.6, а) нитепровод А и бегунок В имеют постоянные координаты:

Здесь радиус кольца расстояние по вертикали от кольца до нитепровода А.

При выбранных направлениях вращения пити и относительного движения будем иметь

где 0) и модули соответствующих скоростей, к— орт оси орт касательной (см. рис. 9.6, а).

Простота решения задачи во многом зависит от выбора системы координат. Так как переносная сила инерции — (центробежная сила) и, как будет показано в дальнейшем, сила сопротивления воздуха наиболее просто выражаются не через декартовы координаты точки нити, а через ее расстояние до оси вращения z, то задачу целесообразно решать во вращающейся цилиндрической системе координат На рис. 9.6, а (см. также рис. 1.10) показаны эти координаты и ортые, и направлений координатных линий. Дифференциальные уравнения линии вдоль которой осуществляется контурное движение нити, в

цилиндрических координатах имеют вид (см. уравнения (1.10) и (1.5.24))

В этих уравнениях кажущееся натяжение нити, соответствующие проекции равнодействующей всех сил, входящих в уравнение (1.10), включая силы инерции.

Цилиндрические координаты точек линии должны удовлетворять нелинейной неголономной связп (1.5.23)

это выражение нужно присоединить к уравнениям (5.3).

Не останавливаясь временно на анализе сил, действующих на нить, займемся преобразованием уравнений (5.3). Для этого прежде всего введем два угла, определяющих направление единичного касательного вектора в цилиндрической системе координат (рис. 9.6, б). Проекции вектора на направления координатных линий (на ортыв, и ) определяются равенствами

Преимущество введения углов и состоит, в частности, в том, что три параметра в отличие от цилиндрических координат удовлетворяют уравнению связи (5.4), согласно (5.5), автоматически.

в качестве новой независимой переменной возьмем координату и введем дифференциальный оператор

Пользуясь теперь вторым и третьим равенствами (5.5), найдем

Если углы и будут найдены как функции то из этих равенств простой квадратурой определятся

С помощью (5.5) и (5.6) преобразуем уравнения (5.3). Имеем

Эти уравнения можно записать в следующей форме:

Умножим первое уравнение на на и третье на Сложив после этого все уравнения и выполняя очевидные преобразования, получим

Отсюда

Заметим, что это уравнение можно получить более простым методом из первого уравнения (1.11) и оператора (5.6).

Представим теперь первые два уравнения (5.9) так:

Умножив первое уравнение на второе на и сложив оба равенства, найдем

Наконец, преобразуем третье уравнение (5.9):

Пользуясь (5.40), получим

Таким образом, вместо трех нелинейных относительно производных уравнений второго порядка (5.3), подчиненных одной нелинейной неголономной связи (5.4), мы получили пять независимых уравнений первого порядка,

решенных относительно производных (два уравнения (5.7) и уравнения (5.10) — (5.12)).

Рассмотрим теперь силы, входящие в . К ним относится преяде всего сила тяжести

Затем в равнодействующую входят переносная и кориолисова — силы инерции (касательная сила инерции относительного движения равна нулю, так как Первая из этих сил численно равна и направлена по радиусу от оси вращения. Следовательно,

Для вычисления кориолисовой силы инерции учтем равенства (5.2). Имеем

Отсюда, пользуясь (5.5), получим

Для вычисления сил сопротивления воздуха мысленно будем считать, что движутся не точки нити со скоростью

а на неподвижную нить движется поток воздуха, скорость которого равна — (см. замечание на стр. 103). Тогда относительной скорости нити будет отвечать сила сопротивления определяемая равенством

где все коэффициенты имеют значения, введенные в § 5.1 (угол атаки для относительного контурного движения нити равен нулю).

Скорость переносного движения точки нити равна [10 модулю и направлена в сторону, противоположную (рис. 9.6, а). Следовательно,

Скорость — согвф совпадает по направлению с ортом поэтому угол атаки отвечающий переносному движению, можно определить из равенства

Согласно § 5.1 силу давления воздуха, движущегося на нить со скоростью — (силу сопротивления воздуха переносному движению нити), можно разложить на три составляющих

Боковой составляющей зависящей от крутки нити, как обычно, пренебрежем, положив Модуль касательной составляющей

представим следующим образом:

где функция определяется графиком на рис. 5.2.

Силы и направлены по касательной Следовательно, модуль их равнодействующей будет

Главную часть силы сопротивления составляет нормальная составляющая модуль которой определяется равенством

где, согласно (5.1.3),

Сила расположена в плоскости векторов т. е. в плоскости Пользуясь формулой (5.1.4),

будем иметь

Объединяя полученные результаты, получим

Отсюда найдем проекции этой силы (см. (5.5) и

Внесем значения этих проекций в уравнения (5.10) — (5.12) и присоединим к ним два уравнения (5.7). После очевидных преобразований получим полную систему пяти независимых дифференциальных уравнений первого порядка, решенных относительно производных

Для полного решения задачи нужно установить пять граничных условий. Три условия очевидны:

Еще два условия должны содержать легко измеряемые параметры. Так, например, относительно несложно

измерить угол в точках Тогда дополнительные два условия будут иметь вид

Этих условий достаточно для интегрирования уравнений (5.25) на ЭВМ.

Построенная математическая модель баллона учитывает хотя и не все, но достаточно общие условия. Обычно задачу существенно упрощают, пренебрегая, во-первых, силой тяжести нити а во-вторых, касательной силой сопротивления. В этих предположениях в результате чего первые два уравнения (5.25) упрощаются, причем из первого уравнения сразу получается пптеграл натяжения

Как уже отмечалось ранее (см. замечание к равенству (5.2.11)), отсутствие в этом интеграле силы сопротивления воздуха не означает, что натяжение нити не зависит от (влияние этой силы на натяжение нити скажется через постоянную

В некоторых работах делаются дальнейгпие упрощения, а именно, пренебрегают кориолисовой силой инерции (она мала по сравнению с переносной силой инерции (обычно Наконец, ряд авторов считают, что сила сопротивления направлена в сторону, противоположную скорости (это равносильно предположению, что сила давления потока на нить совпадает по направлению со скоростью потока — см. § 5.1). Это предположение не вносит большой погрешности в вычисления, так как угол мал и тогда, согласно формуле (5.17), угол атаки Это означает, что основная часть силы сопротивления направлена в сторону, противоположную переносной скорости

Мы не останавливаемся более подробно на теории баллона, отсылая интересующихся к специальной литературе.