§ 3.2. Влияние дополнительной равномерно распределенной нагрузки

Одной из задач теории подвесных конструкций является определение влияния на основные характеристики удерживающих нитей (тросов, канатов, цепей) дополнительной нагрузки. В этом параграфе мы исследуем случай, когда на нить с малой стрелой действует дополнительная равномерно распределенная нагрузка.

Рассмотрим сначала более общую задачу. Пусть пить с малой стрелой провисания находится в равновесии под действием вертикальной кусочно-равномерной распределенной по горизонтали нагрузки. Для определенности будем считать, что весь пролет разбит на три участка, как показано на рис. 3.4. Случай дополнительпой нагрузки получится при где дополнительная нагрузка. Мы рассмотрим два способа решения этой задачи, начав с метода припасовывания решений, применимого к любой кусочно-непрерывно распределенной нагрузке.

Рис. 3.4.

Прежде всего заметим, что в силу независимости первого интеграла из (1.2) от закона распределения нагрузки все участки нити имеют одинаковую горизонтальную составляющую натяжения нити Так как отдельные участки нити находятся под действием равномерно распределенной по горизонтали нагрузки, то к каждому из них можно применить готовые результаты, полученные ранее, в частности, каждый участок нити будет совпадать с отрезком соответствующей параболы, уравпение которой возьмем в форме (1.9). Таким образом, мы получим три уравнепия, каждое из которых

отвечает своему участку нити:

Эти уравнения содержат семь неизвестных величин: и Для их определения воспользуемся сначала двумя гранйчными условиями:

причем первое условие относится к уравнению (2.1), а второе к уравнению (2.3). Имеем

Еще два уравнения получим из условия, что точка С с абсциссой является общей для парабол (2.1) и (2.2), а точка с абсциссой общая для парабол :

В точках соответствующие параболы имеют общие касательные, и, следовательно, производные, вычисленные в этих точках, должны быть равны между собой. Это дает еще два условия

Решая совместно уравнения (2.4) -(2.6), получим (уравнения (2.5) и (2.6) составляют сущность метода нрипасовывания):

Перейдем теперь к вычислению длины нити. Пользуясь формулой (1.18) и интегрируя для первого участка нити в пределах от О до для второго от до и для третьего участка от до получим:

где длины соответствующих участков нити.

Теперь, учитывая, что найдем длину всей нити

Легко проверить, что из полученных формул вытекает случай однородной нагрузки. Действительно, если из равенств (2.8) будем иметь

что совпадает с (1.16). Кроме того, при этом условии Таким образом, все три уравнения определяют одну параболу. Наконец, формула (2.10) упрощается и переходит в (1.19).

Предположим, что горизонтальная составляющая натяжения: определена. Найдем для каждого участка нити свое значение параметра а

и затем, пользуясь уравнениями (2.6) и (2.8), вычислим соответствующие стрелки

Так как каждый участок нити совпадает только с частью параболы, то вычисленные являются по существу не стрелками нити (одна из них может действительно принадлежать нити), а просто значениями соответствующих ординат парабол при (см. рис. 3.1, б).

Вычислим значения ординат точек, в которых определяется натяжение нити Для точек В имеем

Натяжения нити в рассматриваемых точках определяются по формуле (1.22)

Таким образом, для полного решения задачи осталось определить один параметр который легко вычисляется, если известна длина нити Действительно, внесем значения из (2.8) в равенство (2.10). Тогда последнее будет содержать только одну неизвестную величину Решая полученное уравнение, найдем значение после чего все остальные параметры нити определятся по полученным формулам.

Второй метод основан на комбинировгаии уравнений с уравнением равновесия нити в интегральной форме, которое при горизонтально распределенной нагрузке имеет вид

функция на участке равна на участке а на последнем участке Напишем теперь уравнение (2.15) сразу для третьего участка, считая, что абсцисса х принадлежит промежутку Для вычисления интегралов разобьем весь промежуток на три части: и Имеем

или, интегрируя,

Для того чтобы получить уравнение кривой равновесия для второго участка достаточно в уравнении (2.16) положить заменить на х:

Уравнение кривой равновесия для первого участка получается из (2.17) при и

Для определения постоянной учтем, что при Внося эти значения для уравнение (2.16) и решая полученное равенство относительно 7а, найдем

Если теперь сравнить коэффициенты при одинаковых степенях х уравнений (2.18), (2.17) и (2.16) с соответствующими коэффициентами уравнений (2.1), (2.2) и (2.3), то получим сразу формулы (2.7) и (2.8). Второй метод практически применим только при нагрузке, распределенной по горизонтали, в то время как первый метод может быть использован при любой кусочно-непрерывной нагрузке. В частности, для цепной линии с кусочно-непрерывной нагрузкой весь первый метод остается без изменения — нужно только вместо уравнений парабол (2.1) -(2.3) написать соответствующие три уравнения цепной линии.

Пример. Нить находится в равновесии под действием вертикальной равномерно распределенной нагрузки Длина пролета нити равна граничные точки находятся на одном уровне и стрела провисания равна На участок положена дополнительная нагрузка Определить, как изменится натяжение и форма нити, если (рис. 3.5).

Рис. 3.5.

Прежде всего найдем все основные параметры нити без дополнительной нагрузки, причем все значения их будем обозначать нижним индексом нуль, а значения тех же параметров при дополнительной нагрузке будем обозначать теми же символами, но без индекса.

Так как по условию задачи граничные точки находятся на одном уровне то, согласно формулам § 2.1, будем иметь

Ординаты точек при отсутствии дополнительной нагрузки определим из уравнения

где В точке С абсцисса а в точке она равна Поэтому ординаты этих точек равны

Перейдем к вычислению основных параметров нити с дополнительной нагрузкой Очевидно, что в данном примере будем иметь: По формулам (2.13) найдем

Пользуясь формулой (2.10), найдем горизонтальную составляющую натяжения при этом учтем, что длина нити остается без изменения, так что Подставляя соответствующие величины в эту формулу, найдем

Сравнивая с получим

т. е. горизонтальная составляющая натяжения увеличилась на 35,2%.

Вычислим по формулам (2.11) параметры

По формулам (2.12) найдем стрелки всех трех парабол:

Из этих трех величин только стрела принадлежит нити, так как координата находится вне первого промежутка координата вне третьего промежутка и только принадлежит своему промежутку

Вычислим по формулам (2.13) ординаты точек

Сравнивая с найдем

Таким образом, ординаты точек остались практически без изменения.

По формулам (2.14) найдем натяжения в отдельных точках (учтено равенство

Если то будем иметь

т. е. натяжение в отдельных точках увеличилось примерно на На такую же величину возросла и горизонтальная составляющая натяжения Это следовало ожидать, так как при малой стреле провисания основной частью натяжения в любой точке нити является горизонтальная составляющая Я (см. примечание к соотношениям (1.24) и пример § 2.1).