§ 3.4. Влияние линейных деформаций нити

Все выводы, полученные до сих пор, сделаны в предположении, что нить нерастяжима. Однако на практике приходится считаться с тем, что под влиянием температуры и упругих свойств материала нить деформируется, изменяя свою длину.

1. Влияние температуры. Пусть при температуре длина нити равна Тогда при температуре длина нити будет

где а — коэффициент линейного расширения.

Отсюда найдем относительное приращение длины нити

Оценим величину Считая, что (для стального троса) и что разность между летней и зимней

температурами равна получим

Таким образом, при изменении температуры на 70 °С длина стального троса изменится на Рассмотрим как эта деформация скажется на натяжении троса, предполагая для простоты выкладок, что граничные точки закрепления находятся на одном уровне

Считая, что деформация нити происходит равномерно по всей длине и учитывая, что вес нити при этом остается без изменения, будем иметь

где вес единицы длины нити до и после ее деформации. Пользуясь равенством (4.1), получим

Отсюда

или, с точностью до членов высшего порядка относительно малой величины

Из сделанного предположения о равномерном растяжении нити следует, что деформированная нить принимает форму параболы.

Обозначим значение параметра а при температуре через а при температуре через а. Пользуясь формулой (1.20), получим при

где длина нити при измененной температуре. Согласно рренству Следовательно,

При длина нити определяется формулой (1.21)

После подстановки и очевидных преобразований получим

Первый множитель равен значению а до температурной деформации. Разлагая второй множитель в ряд по степеням и ограничиваясь членами первого порядка малости, найдем

Имеем

или с принятой точностью

где значение горизонтальной составляющей натяжения нити до температурной деформации.

Внесем в последнее равенство значение и вычислим относительное изменение

При малой стреле провисания горизонтальная составляющая натяжения может существенно измениться даже при очень малом значении Так, например, если летом стальной трос имел стрелу провисания, равную то зимой при перепаде температуры на 70°С будем иметь: следовательно,

т. е. горизонтальная составляющая натяжения увеличится почти на 40%. Если же стрела провисания составляет то горизонтальная составляющая натяжения увеличится на 160%. Зимой это может вызвать обрыв туго натянутых тросов.

2. Влияние упругих деформаций. Будем считать, что растяжение нити подчиняется закону Гука. Тогда равенство (1.1.3) на основании (1.1.6) примет вид

где длины одного и того же элемента нити до и после растяжения, а удельное относительное удлинение нити.

Для нитей с малой стрелой провисания горизонтальная составляющая натяжения мало отличается от натяжения (см. примечание к соотношениям (1.24) и пример § 3.1). На этом основании в равенстве (4.4) натяжение заменяют на его горизонтальную составляющую Тогда это равенство принимает вид

или после интегрирования

где длины нити до и после растяжения, горизонтальная составляющая после растяжения.

Из условия сохранения веса нити получим аналогично (4.2)

Из сделанного предположения о возможности замены на следует, что растянутая по закону Гука нить с малой стрелой провисания с принятой точностью принимает форму параболы.

Параметр нити а будет равен

Дальнейшие вычисления зависят от заданных элементов нити.

а. Предположим, что заданы пролет превышение вес единицы длины нити до деформации до и стрела провисания после деформации нити. Из уравнения (1.26) найдем параметр затем по формуле (1.14) найдем

параметр а после деформации нити

Подставляя это значение параметра а в (4.8), получим квадратное относительно уравнение

Отсюда находим натяжение растянутой нити.

б. Заданы пролет превышение , вес единицы длины нити до и ее длина до деформации. Пользуясь формулами (1.20), (4.7) и (4.8), получим после очевидных преобразований

Рассмотрим случай, когда модуль упругости нити значительно больше горизонтального натяжения нерастянутой нити т. е. отсюда Положим

и будем искать решение уравнения (4.11) в форме ряда, расположенного по степеням

Подставим это выражение для в уравнение (4.11) и сгруппируем члены по степеням Тогда, ограничиваясь членами первого порядка малости, получим

Так как это равенство должно выполняться при всех то свободный член и коэффициент при должны равняться нулю. Следовательно,

Рассмотрим частный случай, когда граничные точки нити находятся на одном уровне При этом условии и равенства (4.14) принимают простой вид

Пользуясь равенствами (4.13), (4.15) и (4.12), найдем

Для нитей с малой стрелой провисания отношение очень мало. Поэтому, если пренебречь этим членом по сравнению с единицей, то окончательно получим

Пример. Пусть пролет стального троса площадь поперечного сечения стрела провисания нерастянутого троса Для стали примем модуль упругости а удельный вес Согласно равенству (1.1.7) найдем модуль упругости для троса отсюда Вычислим теперь до. Имеем: до Пользуясь формулами (4.14), (4.15) и (4.6), получим

Таким образом, при упругой деформации стального троса с малой стрелой провисания его длина изменяется очень мало, но это вызывает существенное изменение горизонтальной составляющей натяжения (в нашем примере на

Все выводы о упругой деформации нити с малой стрелой провисания получены в предположении, что во всех точках нити ее натяжение можно заменить на горизонтальную составляющую в результате чего нить после деформации примет снова форму параболы, мало отличающуюся от параболы, форму которой она имела бы при отсутствии растяжения. Это рассуждение, конечно, не является строгим, поэтому представляет интерес оценить полученные результаты. Для этого воспользуемся формулой (2.3.36), свободной от сделанных предположений о

форме растянутой нити,

(звездочка в коэффициенте у] поставлена для того, чтобы отличить его от соответствующего коэффициента (4.16), вычисленного в упрощающих предположениях).

Для нерастянутой нити с малой стрелой провисания и были установлены следующие формулы:

Следовательно, Поэтому гиперболические косинусы, входящие в (4.19), можно разложить в ряд по степеням и ограничиться первыми двумя членами:

Внося значения для в (4.19) и сравнивая с (4.16), получим после очевидных упрощений

Это означает, что при стреле провисания ошибка в вычислении коэффициента по формуле (4.16) составит примерно - точность в таких расчетах более чем достаточная (в формуле (4.17) мы вообще пренебрегли членом Таким образом, приближенная теория упругой деформации тросов с малой стрелой провисания имеет достаточно строгое обоснование.