ГЛАВА IV. НИТИ РАВНОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ

§ 4.1. Постановка задачи

В общем случае в каждом сечении нити имеется свое нормальное напряжение. Естественно поставить вопрос о конструировании нитей равного сопротивления т. е. таких нитей, в которых нормальное напряжение одинаково во всех поперечных сечениях. В этом случае все части нити испытывали бы равные усилия на разрыв, что благоприятно отразилось бы на эксплуатации и отвечало наиболее экономному расходу материала.

Задача о нити равного сопротивления ставится обычно следующим образом: по заданным силам и граничным условиям требуется определить форму равновесия нити и закон распределения площади поперечного сечения, предполагая, что материал нити однороден и что во всех ее точках имеются одинаковые нормальные напряжения. Недостатками нитей равного сопротивления являются, во-первых, отсутствие универсальности (при изменении, например, граничных условий свойство равного сопротивления теряется — см. § 4.3, стр. 100) и, во-вторых, технологические трудности — нужно изготовить нить с переменной площадью поперечного сечения. В связи с этим нити равного сопротивления не нашли широкого распространения. Однако в тех случаях, когда натяжения в разных точках нити существенно отличаются друг от друга, применение нитей равного сопротивления может быть оправдано.

Рассмотрим теперь некоторые общие свойства ритей равного сопротивления.

Натяжение нити нормальное напряжение о и площадь поперечного сечения связаны очевидным соотношением

причем для нитей равного сопротивления Поэтому, если будет найден закон распределения площади поперечного сечения то тем самым будет определен закон изменения натяжения нити

Пусть нить равного сопротивления испытывает упругое растяжение по засону Гука. Тогда с помощью равенств (1.1.3) и (1.1.6) получим

Учтем теперь, что удельное относительное удлинение нити (см. формулу (1.1.7)), а натяжение нити Внося эти значения для в последнее равенство, будем иметь

или, интегрируя и учитывая, что для нитей, равного сопротивления

Отсюда

В следующем параграфе мы начнем изучение поставленного вопроса с рассмотрения хорошо известной, но важной для приложений и нужной нам для сравнения задачи.