Часть 2. Основы динамики нити

ГЛАВА VIII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ НИТИ

§ 8.1. Дифференциальные уравнения движения нити в декартовых координатах

При движении нити, которую мы будем в дальнейшем считать идеальной, однородной и нерастяжимой (исключения оговариваются), положение и скорость каждой ее точки а также натяжение зависят не только от дуговой координаты но и от времени Поэтому, если радиус-вектор точки движущейся нити, а скорость и ускорение этой точки, то будем иметь

Дуговая координата отсчитывается от некоторой фиксированной на нити точки. Если нить имеет хотя бы одну неподвижную точку, то за начало отсчета дуговой координаты рационально выбрать эту точку. Если же все точки нити движутся, то начало отсчета будет перемещаться вместе с нитью.

Рис. 8.1.

Выделим в нити элемент длиной и массой Обозначим, как обычно, через силу, отнесенную к единице длины нити. Тогда на этот элемент нити будут действовать сила и в точках натяжения соответственно (рис. 8.1). Применим к элементу нити второй закон

Ньютона:

или, деля на и переходя к пределу,

Это основное дифференциальное уравнение динамики нити в векторной форме. Проектируя его на оси неподвижных декартовых координат, получим

К этим уравнениям нужно присоединить уравнение связи

Дифференцируя это равенство по времени получим

или, меняя порядок дифференцирования,

Величины, стояпие в скобках, равны соответствующим проекциям скорости т. е.

Поэтому последнее равенство принимает вид

или в векторной форме

(так как первые множители в равенстве (1.6) равны проекциям единичного касательного вектора

Дифференциальные уравнения движения нити (1.3) должны быть проинтегрированы с учетом связей (1.4) и (1.6), а также граничных и начальных условий. Если концы нити закреплены, то, отсчитывая дуговую координату от конца А, граничные условия можно записать в следующем виде:

где длина нити, постоянные числа — координаты точек закрепления

Если конец нити А закреплен, а конец В свободен и не связан с каким-либо телом, то граничное условие на свободном конце состоит в конечности функций (см. § 10.3). Если конец В не закреплен, но к нему прикреплено тело (например, груз), граничные условия усложняются (см. § 10.3).

Начальные условия должны предусматривать конфигурацию нити и значения скоростей ее точек в момент времени Эти условия имеют вид (конечно, в частных случаях им можно придать другую форму)

Функции и нельзя задавать произвольно — они должны быть подчинены условиям (1.4) и (1.6).