§ 9.2. Кажущийся покой

Движение нити вдоль неподвижной линии называется кажущимся покоем (переносное движение отсутствует). Рассмотрим несколько частных случаев.

1. Равномерное движение нити вдоль линии кажущегося покоя при отсутствии силового поля, В этом случае Уравнение (1.10) принимает вид

При относительной скорости

кажущееся натяжение обращается в нуль и урайнение (2.1) будет выполняться при любом направлении в пространстве единичного касательного вектора Это означает, что при отсутствии силового поля нить, равномерно бегущая вдоль себя со скоростью будет сохранять любую наперед заданную форму (эффект

Эткина — Радингера). Заметим, что скорость определенная равенством (2.2), равна спорости распространения в нити упругой поперечной волны (см. § 10.2). Конечно, на концах разомкнутой нити должно быть обеспечено натяжение Для замкнутой нити это условие отпадает.

Рассмотрим теперь обилий случай, когда скорость не определяется равенством (2.2), т. е. при Заменим уравнение (2.1) на два первых уравнения (1.11):

Из первого уравнения найдем а из второго получим Это означает, что при отсутствии силового поля и при скорости отличной от скорости распространения в нити упругой поперечной волны, в установившемся движении нить может принимать только прямолинейную форму. Только прямолинейную форму принимает нить и в установившемся равнопеременном движении при В этом случае

Описанные здесь явления можно моделировать с помощью находящейся на гладкой горизонтальной плоскости гибкой нерастяжимой трубки, внутри которой течет под давлением с постоянной скоростью жидкость.

2. Равномерное движение нити вдоль линии кажущегося покоя при наличии внешних сил этом случае линия кажущегося покоя совпадает с линией равновесия нити при тех же силах и тех же граничных условиях и линейных размерах. Натяжение нити увеличивается при этом на величину Действительно, при уравнение линии кажущегося покоя получим из (1.10):

Это уравнение в точности совпадает с уравнением равновесия нити (1.2.1). Следовательно, при тех же граничных условиях и линейных размерах будут совпадать линий статического и кажущегося равновесий, а также статическое и кажущееся патяжения, т. е.

Из равенства (1.9) найдем динамическое натяжение нити (в нашем случае

Пример. Если отвлечься от специфических особенностей движения ремня, то моделью кажущегося покоя нити может служить ременная передача. Пусть такая передача связывает два одинаковых шкива, центры которых находятся на одной высоте. Статическое натяжение ремня в нижней его точке О будет равно (см. § 3.1)

где вес единицы длины ремня, I — расстояние между точками схода ремня, стрела провисания его (предполагается, что она мала).

Пользуясь последними равенствами, найдем относительное увеличение натяжения при равномерном вращении шкивов

Отсюда видно, что при достаточно большой линейной скорости движения ремня динамическое натяжение может существенно увеличиться по сравнению со статическим натяжением.

3. Движение тяжелой нити вдоль линии кажущегося покоя в сопротивляющейся среде. Рассмотрим встречающийся в приложениях случай, когда однородная тяжелая нить, находящаяся в жидкости, перематывается с постоянной скоростью с одного барабана на другой (рис. 9.2). К точке нити будут приложены следующие силы, отнесенные к единице длины: сила тяжести нити в жидкости и сила сопротивления (сила трения), направленная по касательной в сторону, противоположную движению нити. Обе силы для нерастяжимой нити постоянны по модулю, причем первая из них массовая, а вторая

Рис. 9.2.

поверхностная. Силу сопротивления можно определить по методике, изложенной в работе [11], можно воспользоваться формулой (5.1.2) при нулевом угле атаки, но в конечном счете требуются экспериментальные данные, так как эта сила зависит и от вязкости среды, и от состояния поверхности нити. Заметим здесь же, что если нить движется равноускоренно (равнозамедленно), то все дальнейшие выводы останутся без изменения, если к силе сопротивления присоединить силу инерции касательного ускорения, равную

Воспользуемся естественными уравнениями кажущегося равновесия нити. Для этого составим прелюде всего проекции равнодействуюгцей сил и на касательную и главную нормаль Пользуясь рис. 9.2, получим

Подставляя эти значения для в уравнения

(1.11) и учитывая, что в этой задаче будем иметь

Деля первое уравнение на второе и учитывая, что для плоской нити (см. (1.3.5)), получим

Интегрируя уравнение (2.9), найдем

Отсюда

Здесь постоянная интегрирования (множитель введен для удобства), а переменная и определена

равенством (см. формулы (2.3.12) и

Пользуясь полученным выражением для и вторым уравнением (2.8), найдем радиус кривизны (снова используется формула

Имеем

Сопоставляя с (2.12), получим

Согласно формулам будем иметь

Следовательно,

Интегрируя, найдем уравнения линии кажущегося равновесия в параметрической форме

Для определения длины свободной части нити воспользуемся равенством

Сравнивая с (2.12), получим

Интегрируя от до найдем

здесь и значения параметра в точках А и В соответственно.

Граничные условия в этой задаче зависят от соотношения между диаметрами барабанов и расстояниями по горизонтали и вертикали, характера синхронизации врагцений барабанов; если верхний барабан не синхронизован и врагцается за счет силы натяжения нити, то необходимо учесть момент сил трения на его оси и т. п. Поэтому мы не останавливаемся на этом вопросе, оставляя задачу определения граничных условий для тех, кто имеет дело с конкретными системами.

Рассмотрим теперь эту задачу для растяжимой нити. Сила сопротивления поверхностная и от массы нити не зависит. Поэтому, если пренебречь изменением диаметра растянутой нити (см. замечание к формуле (1.1.8)), то при растяжении нити значение силы не изменится. Сила тяжести отнесенная к единице длины, — массовая, и для растянутой нити она определяется равенством: где до — вес единицы длины нити до ее растяжения, а закон растяжения. Из этого следует, что для растянутой нити уравнения (2.8) примут вид (мы пренебрегаем временем растяжения нити)

где истинное, а не кажущееся натяжение нити

Деля первое уравнение на второе и считая, что нить растяжима по закону Гука, получим вместо (2.9) следующее уравнение:

где — удельное относительное удлинение нити.

В замкнутой форме это уравнение проинтегрировать нельзя, Рещение целесообразно искать в форме ряда,

расположенного по степеням а:

или применить численный метод.