§ 10.3. Колебания однородной нерастяжимой нити с грузом на конце

Рассмотрим однородную нерастяжимую нить, подвешенную за один конец и несущую на втором конце груз массы В положении равновесия нить располагается по вертикальной прямой, которую примем за ось Пренебрегая размерами груза, исследуем малые колебания пити около положения равновесия, предполагая, что они происходят в одной плоскости.

Рис. 10.5.

Пусть в положении равновесия точка нити определяется абсциссой дифференциал дуги нити в этом положении будет Обозначим координаты той же точки в отклоненном положении через а дифференциал дуги через Тогда

где вертикальное и горизонтальное перемещения точки в момент времени (рис. 10.5, а). Из условия нерастяжимости следовательно, имеем

или, пользуясь (3.1),

Отсюда

Считая горизонтальные перемещения и их производные малыми первого порядка, из последнего равенства найдем, что следовательно, будут величинами второго порядка малости. Согласно (3.1) заключаем теперь, что с точностью до членов первого порядка малости включительно вертикальным перемещением точки можно пренебречь и считать, что ее положение в момент времени определяется координатами о: и т. е.

Пренебрегая квадратом производной по сравнению с единицей, получим

где а — угол между касательной к нити и положительным направлением оси х,

Натяжение нити в точке с абсциссой х равно сумме силы тяжести груза и силы тяжести нити, расположенной ниже точки т. е.

где — линейная плотность нити, I — ее длина.

Пользуясь вторым уравнением движения нити (8.1.3) и учитывая, что получим

Решение этого дифференциального уравнения малых поперечных колебаний нити с грузом должно

удовлетворять двум начальным и двум граничным условиям. Начальные условия имеют тот же вид, что и (2.4):

Граничные условия зависят от наличия или отсутствия груза. Рассмотрим сначала случай, когда груз отсутствует Верхний конец нити закреплен, и его перемещение при всех равно нулю; нижний конец нити может перемещаться только на конечную величину. Поэтому граничные условия при отсутствии груза будут

При наличии груза граничные условия на нижнем конце усложняются (условие на верхнем, закрепленном конце остается без изменения). Для получения этого условия рассмотрим мысленно движение одного груза без нити, заменив ее реакцией (натяжением). Тогда на груз будут действовать две силы: сила тяжести и сила — (см. рис. 1.2). Первая сила направлена вертикально вниз, параллельно оси х, а вторая — по касательной к нити в нижней ее точке (рис. 10.5, б). Применяя второй закон Ньютона, получим

С принятой точностью ускорение груза направлено перпендикулярно оси х и равно причем эта производная должна быть вычислена в нижней точке нити, т. е. при Спроектируем равенство (3.5) на ось перпендикулярную касательной к нити в нижней точке. Тогда, учитывая направления ускорения и сил и получим

или, принимая во внимание (3.2),

Присоединяя к этому условию первое равенство из (3.4),

получим граничные условия для колебаний нити с грузом на конце.

Прежде чем перейти к решению поставленной задачи, преобразуем уравнение (3.3) и граничные условия, введя вместо X новую переменную z по формуле

Уравнение (3.3) в переменных примет теперь

где

В тех же переменных граничные условия (3.4) для нити без груза преобразуются к виду

а для нити с грузом

где для краткости положено

Применяя метод Фурье, изложенный в § 10.2, будем искать решение уравнения (3.8) в форме произведения двух функций из которых первая зависит только от а вторая от

Подставляя в (3.8) и разделяя переменные, получим

Так как левая часть зависит только от z, а правая — только от то это равенство может существовать, если каждая его часть будет равна постоянному числу. Обозначив, как и в § 10.2, общее значение их через получим два обыкновенных дифференциальных уравнения

Первое из этих уравнений представляет уравнение

Бесселя (см. формулу приложения общее решение которого будет

где функции Бесселя 1-го и 2-го родов нулевого порядка.

До сих нор ход решения был практически одинаков для нити с грузом и без него. Дальнейшее решение существенно зависит от наличия или отсутствия груза. Рассмотрим сначала второй случай,

1. Колебания подвешенной нити без груза. Второе граничное условие (3.10) требует, чтобы функция а следовательно, и фуйкция при была конечной. Так как то постоянная должна равняться нулю: Полагая (численная величина постоянной не имеет для дальнейшего никакого значения — существенно только, что получим

Подчиним теперь функцию первому граничному условию (3.10). Имеем

Отсюда

Так как функция Бесселя имеет бесчисленное множество положительных корней то имеется бесчисленное множество чисел удовлетворяющих

поставленной задаче:

Каждому отвечает свое решение уравнения (3.14)

Частное решение уравнения (3.8) равно произведению а общее решение равно их сумме. Переходя по (3.7) к переменной х при получим

или, пользуясь формулами (2.21),

Это решение показывает, что движение каждой точки подвешенной нити можно рассматривать как наложение гармонических колебаний. Частота гармоники равна а форма (амплитуда) Узловые точки определяются из уравнения

Отсюда ясно, что эти точки для гармоники находятся из равенств

основная гармоника узловых точек не имеет.

Первые три корня функции Бесселя нулевого порядка имеют следующие значения (см. равенства (П2.3) приложения 2):

Поэтому узловая точка второй гармоники определится равенства

Третья гармоника имеет две узловые точки

Формы первых трех гармоник в долях будут

С помощью таблиц функций Бесселя [23] были определены значения этих форм колебаний и по точкам построены их графики (рис. 10.6). Частоты первых трех главных колебаний равны

Рис. 10.6.

Для полного решения задачи осталось определить постоянные интегрирования из равенства (3.19). Воспользуемся первым начальным условием. Подставив в получим

Умножим обе части этого равенства на и проинтегрируем его от 0 до

Обозначим правую часть этого равенства через и перейдем к Ьовой переменной интегрирования, положив

После подстановки последовательно получим

Все интегралы при равны нулю, а при соответствующий интеграл равен (см. формулы ортогональности приложения 2). Поэтому

и, следовательно,

Продифференцируем теперь равенство (3.19) по времени и воспользуемся вторым начальным условием. Повторяя затем проведенные выше преобразования, получим

Полученными формулами задача о колебании подвешенной однородной нерастяжимой нити без груза полностью решена.

2. Колебания подвешенной нити с грузом. Первое граничное условие (3.11) на основании (3.12) принимает

Отсюда что на основании приводит к равенству

Перейдем ко второму граничному условию (3.11). Имеем (см. (3.12) и

Подставив эти значения для производных во второе граничное условие получим после сокращения на

Из равенства (3.15) найдем

После подстановки в (3.24) значений из (3.15) и группировки членов приведем граничное условие (3.24) к следующей форме:

Система линейных однородных алгебраических уравнений (3.23) и (3.25) относительно должна иметь решение, отличное от нуля. Для этого необходимо и достаточно, чтобы определитель этой системы равнялся нулю:

или

Введем обозначение

Тогда где масса нити без груза. Уравнение (3.26) принимает теперь вид

Это трансцендентное относительно уравнение зависит только от одного параметра Оно имеет при заданном значении х бесчисленное множество положительных корней которые можно определить различными методами, но, конечно, лучше всего использовать для этой цели ЭВМ. Не останавливаясь на этом вопросе более подробно, отметим, что в работе [30] вычислены первые пять частот колебаний

для Для предельных случаев, когда там же получены упрощенные уравнения для определения частот.

По значениям корней уравнения (3.28) найдем из (3.27) соответствующие

Подставим эти значения для в уравнения (3.23) и (3.25) и обозначим соответствующие значения через Из полученных двух уравнений относительно независимых будет только одно уравнение (так как при определитель системы равен нулю).

Возьмем уравнение (3.23) как более простое:

Отсюда

где

Соответствующее частное решение (3.15) для функции и будет (переходим снова к переменной х)

при этом мы полагаем (этот множитель можно внести в постоянные см. дальнейшее равенство (3.33)).

Подставим в (3.14) и найдем частное решение этого уравнения

Теперь можно написать и общее решение поставленной задачи

или, пользуясь равенствами (2.21),

Функция определяет форму гармоники, узловые точки определяются из уравнения

или

Мы не устанавливаемся на определении постоянных интегрирования по начальным условиям (3.4), так как для практических целей наибольший интерес представляет знание частот, узловых точек и форм колебаний. Заметим только, что теоретически способ определения постоянных несущ;ественно отличается от метода вычисления их при отсутствии груза.

Сравнивая оба случая колебаний подвешенной нити, видим, что добавление груза мало изменяет чисто теоретический анализ, но существенно увеличивает вычислительную часть работы. Если при отсутствии груза для определения частот, узловых точек и форм колебаний нити можно воспользоваться готовыми таблицами бесселевых функций, то для нити с грузом таких таблиц нет.

Можно конечно, использовать результаты упомянутой выше работы [30] и, зная частоты, существенно упростить собственные вычисления. Но остается еще определение узловых точек и форм колебаний. Мы уже не говорим, что существенно усложняется вычисление постоянных по начальным условиям (3.4).