§ 7.2. Равновесие нити на поверхности при наличии трения

Задача о равновесии нити на шероховатой поверхности ставится обычно следующим образом: при заданных активных силах, коэффициенте трения к конфигурации нити на поверхности требуется определить патяженпе

нити и условия, при выполнении которых нить будет находиться в равновесии (предполагается, что силы трения подчинены закону Амонтона).

Сила трения между поверхностью и нитью расположена в касательной плоскости. Поэтому уравнения равновесия нити получаются из (1.9), если к первому и третьему уравнениям присоединить проекции силы трения на оси Обозначив угол между касательной и силой трения через получим (на рис. 7.4 изображена касательная плоскость, сила трения нормальная реакция предполагается, что отсчет дуговой координаты идет в сторону убывания натяжения, поэтому

Рис. 7.4.

К этим уравнениям нужно присоединить условие, которому должна удовлетворять сила трения

где знак равенства отвечает предельному равновесию.

Так как по условию конфигурация нити на поверхности задана, то в уравнениях (2.1) радиус кривизны нити и угол геодезического отклонения будут известными функциями положения точки на нити, т. е. криволинейной координаты Кроме того, известны проекции активной силы Неизвестными величинами являются нормальное давление натяжение нити модуль и направление силы трения и угол

В обпем случае нужно пользоваться уравнениями условием (2.2). Мы ограничимся рассмотрением наиболее важного для приложений и вместе с тем

наиболее простого случая, когда активными силами, действующими на нить, можно пренебречь В этих условиях уравнения (2.1) принимают вид

Пользуясь условием равновесия (2.2) и значением нормального давления получим из первого и третьего уравнений

Из второго неравенства следует

Первое неравенство (2.4) только усилится, если заменить правой частью соотношения (2.5). Следовательно,

где

причем параметр к при заданной форме равновесия нити на поверхности является известной функцией дуговой координаты и коэффициента трения k.

Так как коэффициент должен быть вещественным, то

или, вводя угол трения

Это неравенство составляет первое условие равновесия: при отсутствии активных сил для равновесия нити, лежащей на поверхности, необходимо, чтобы в каждой точке нити угол трения был не меньше угла геодезического отклонения .

Проинтегрировав неравенство (2.6), получим второе необходимое условие равновесия нити на шероховатой поверхности

где — сила, приложенная к концу нити натяжение нити в любой ее точке длина нити от А до точки В частности, если второй конец нити В свободен, то к нему необходимо приложить силу удовлетворяющую условию длина всей нити

Таким образом, если при отсутствии активных сил нить, лежащая на поверхности, находится в равновесии, то в каждой точке нити должны выполняться условия (2.8) и (2.9). Легко видеть, что обратное утверждение тоже справедливо. Следовательно, условия (2.8) и (2.9) являются необходимыми и достаточными для равновесия нити на шероховатой поверхности.

Из неравенства (2.9) нельзя определить значение натяжения в любой точке нити — мы можем только указать его нижнюю границу. Это соответствует природе принятого закона трения. Конечно, в предельном случае, когда имеет место знак равенства, задача становится вполне определенной.

Пример 1. Плоская задача. Пусть нить, находящаяся на цилиндрической не обязательно замкнутой шероховатой поверхности, имеет форму плоской кривой, перпендикулярной образующим поверхности (рис. 7.5, а и б). К концам нити приложены силы При таком расположении нити ее главная нормаль в любой точке совпадает с нормалью к поверхности и, следовательно, угол геодезического отклонения равен нулю. Из формулы (2.7) найдем

Как уже отмечалось (см. формулу (1.3.5)), для плоской кривой кривизна определяется равенством

где а — угол между касательной и какой-нибудь неподвижной прямой. Если обозначить через и «в значения угла а в точках соответственно, то с помощью (2.11) и (2.12) условие равновесия нити (2.10) принимает вид (неравенство (2.8) выполняется автоматически)

или, интегрируя,

Рис. 7.5.

Здесь — угол поворота касательной (рис. 7.5, б). Для кругового цилиндра (рис. 7.5, в) этот угол равен углу охвата, причем в предельном случае получаем хорошо известную формулу Эйлера

Пример 2. Равновесие нити на круговом конусе. Рассмотрим невесомую нить, охватывающую шероховатый круговой конус по окружности, плоскость которой перпендикулярна оси конуса (рис. 7.6). К переднему свободному концу нити подвешен груз весом Требуется определить, какой груз нужно подвесить ко второму концу нити, чтобы последняя оставалась в равновесии. Ось конуса горизонтальна, угол между его образующей и осью равен коэффициент трения k.

В рассматриваемом случае угол геодезического отклонения — (так как перпендикулярны оси конуса и его образующей соответственно), радиус кривизны нити где радиус окружности, длина нити, лежащей на конусе,

При натяжение будет убывать от поэтому в соответствии с принятым ранее условием вектор имеет указанное на рисунке направление. Сила трения лежит в касательной плоскости Для равновесия нити нужно потребовать прежде всего, чтобы коэффициент трения к удовлетворял условию Из формулы (2.7) найдем

Рис. 7.6.

Натяжения нити в точках соответственно равны Второе условие равновесия (2.10) принимает вид

или

где

В предельном равновесии угол между силой трения и касательной к нити определяется из равенства (2.4) и для данного примера

Пример 3. Равновесие нити, расположенной по геодезической линии шероховатой поверхности. По определению, для любой пространственной геодезической линии угол (в примере 1 мы тоже рассматривали геодезические линии, но они были плоскими). Поэтому коэффициент и условие (2.9) принимает вид

Как уже отмечалось (см. § 1.3), радиус кривизны любой пространственной, в том числе и геодезической, линии можно рассматривать как функцию дуговой координаты: Поэтому формула (2.16) определяет условие равновесия нити, расположенной по геодезической линии шероховатой поверхности для случая, когда активными силами можно пренебречь.

Рассмотрим пример. Пусть нить, весом которой можно пренебречь, расположена по винтовой линии круглого цилиндра. Радиус кривизны винтовой линии определяется равенством (1.3.9)

Пользуясь теперь формулой (2.16), получим в предельном случае натяжение нити, расположенной на круглом шероховатом цилиндре по винтовой линии:

Остановимся несколько подробнее на формуле (2.16). Некоторые авторы называют множитель при коэффициенте трения к в показателе степени «углом охвата» нити, расположенной по геодезической линии. Если обозначить этот угол через то будем иметь

Пользуясь определением кривизны пространственной линии (1.3.4), можно показать, что эта величина равна длине индикатрисы касательной. В общем случае индикатриса касательной представляет линию двоякой кривизны, но в некоторых случаях она вырождается в окружность (например, для винтовой линии), и тогда величину можно найти из геометрических соображений. Заметим только, что стремление свести эффект трения нити о поверхность к формуле Эйлера и рассматривать показатель степени

в равенстве (2.9) как произведение коэффициента трения к на «угол охвата» может привести к ошибочным заключениям. Действительно, в примере 2 реальный угол охвата равен , но показатель степени равен не а где х определен равенством (2.15).

В заключение обратим внимание на следующее обстоятельство. Угол между силой трения и касательной к нити (см. рис. 7.4 и уравнения зависит от действующих на нить активных сил, конфигурации нити на поверхности и коэффициента трения k. Даже при отсутствии активных сил этот угол может быть различным. Так, в примерах 1 и 3 угол равен нулю, а в примере 2 в предельном равновесии