§ 1.3. Естественные уравнения равновесия нити

Во многих случаях удобнее пользоваться так называемыми естественными уравнениями равновесия нити.

Для вывода их возьмем на нити произвольную точку и построим оси естественного трехгранника. Обозначим через орты касательной, главной нормали и бинормали соответственно (рис. 1.8). Напомним, что векторы определяют соприкасающуюся плоскость (если нить плоская, то соприкасающаяся плоскость совпадает с плоскостью нити) и что единичный вектор главной нормали всегда направлен в сторону вогнутости кривой. Кроме того, напомним формулы Френе

Рис. 1.8.

где кривизна, кручение дуги в данной точке радиусы кривизны и кручения соответственно).

Внесем значение из равенства (1.1) в векторное уравнение равновесия нити (2.1)

Продифференцируем выражение, стоящее в скобках,

или, учитывая первую формулу (3.1),

Проектируя на касательную, главную нормаль и бинормаль, получим

где проекции силы на соответствующие оси естественного трехгранника.

Уравнения (3.3) называются естественными или натуральными уравнениями равновесия гибкой нити. Не останавливаясь на доказательстве, заметим, что их можно получить из уравнений (2.5).

Из последнего уравнения (3.3) следует, что проекция силы на бинормаль равна нулю. Это означает, что под действием приложенных сил нить принимает форму линии, в каждой точке которой соприкасающаяся плоскость содержит силу

Кривизна линии определяется в общем случае равенством

где 8 — угол смежности (угол между двумя близкими касательными). Из этого видно, что кривизну линии можно рассматривать как скорость поворота касательной по дуге Для плоской кривой угол смежности 8 равен приращению угла а между касательной и каким-либо неизменным направлением, например осью Поэтому для плоской линии кривизна равна производной от, угла а по дуге

Если плоская линия задана уравнением то последняя формула приводится к виду

в отличие от плоской линии, направление касательной пространственной кривой определяется не одним, а двумя углами. Поэтому для пространственной кривой не существует одного угла, приращение которого равно углу смежности. Из этого следует, что кривизну (скорость поворота касательной) пространственной линии нельзя рассматривать как производную от некоторого угла а по , что имеет место для плоской кривой.

Для пространственной линии, заданной уравнениями

кривизна вычисляется по формуле

Пример. Уравнения винтовой линии имеют вид

Здесь радиус цилиндра, а — угол между касательной к

винтовой линии и плоскостью поперечного сечения цилиндра, Имеем:

Пользуясь формулой (3.8) и учитывая значение х, получим

Естественными уравнениями (3.3) пользуются чаще всего в тех случаях, когда форма линии равновесия нити известна. Однако в некоторых случаях плоской нити эти уравнения можно эффёктивно использовать для определения основных параметров, в том числе и формы нити. Действительно, если проекции силы на касательную и главную нормаль зависят только от угла а между касательной и осью абсцисс х, то решение задачи можно провести в следующем порядке (см. [16]). Пусть Тогда первые два уравнения (3.3) примут вид

Деля первое уравнение на второе и учитывая, что для плоской кривой имеет место равенство (3.5), получим

или, интегрируя,

Пользуясь этим выраяением для натяжения и вторым уравнением (3.10), найдем радиус кривизны

Для решения конкретных задач нужно от уравнения (3.12) перейти к уравнениям, с помощью которых легко учитываются граничные условия. Для этого

воспользуемся двумя выражениями для радиуса кривизны

Сопоставляя с (3.12), найдем уравнения равновесия нити в параметрической форме

Описанный здесь метод не является, как правило, самым простым, но в некоторых случаях он весьма эффективен (см. § 9.3).