§ 6.2. Форма поперечного сечения плавающего пучка и натяжение в обвязке

Согласно равенству (1.2) в верхней точке плавающего пучка на обвязку действует сила где радиус кривизны обвязки в точке А. Сила давления на расстоянии у по вертикали от верхней точки А будет складываться из начального давления вызванного давлением обвязки на пучок, и гидростатического давления, равного где (для пучков леса где коэффициент полнодревесности, длина пучка, приходящаяся на одну обвязку). Таким образом, в надводной части пучка сила давления на обвязку будет равна

Обозначим через а угол между касательной к обвязке пучка и положительным направлением оси х (рис. 6.1). Тогда будем иметь

Воспользуемся первым уравнением равновесия (1.2.8)

Внесем в это уравнение значение учтя при этом, что Тогда, сокращая полученное равенство на будем иметь

Введем новую переменную, положив

Отсюда рледовательно, уравнение (2.3) примет вид

Интегрируя это равенство и учитывая, что в точке А угол получим

Отсюда

где

Пользуясь равенствами (1.2), (2.1) и (2.4), получим

Кривизна плоской кривой определяется равенством

Исключая из (2.7) и (2.8) радиус кривизны найдем

или, учитывая (2.5),

Интегрируя это равенство от О до а, получим значение абсциссы надводной части обвязки как функцию параметра

где

функция легко преобразуется к эллиптическим интегралам первого и второго рода. Это преобразование используется во всех работах, опубликованных до широкого распространения ЭВМ. Для анализа и вычислений на ЭВМ форма (2.11) функции более удобна, так как она более компактна и требует меньшего машинного времени.

Из (2.7) и (2.5) имеем

Отсюда

Пользуясь теперь равенствами (2.4), (2.1), (2.5) и (2.13), легко найдем

Уравнения (2.10) и (2.14) определяют в параметрической форме надводную часть обвязки пучка.

Обозначим через значение угла а на линии водораздела. Тогда высоту надводной части и длину хорды пучка (см. рис. 6.1) получим из (2.14) и (2.10) при (во втором равенстве и в дальнейшем учитывается симметрия относительно оси

Комбинируя (2.12) и (2.8), найдем дифференциал дуги

Следовательно, длина обвязки надводной части пучка определится равенством

Площадь надводной части пучка найдем по формуле

(первое слагаемое в скобке равно площади прямоугольника со сторонами и а интеграл равен площади криволинейного сектора, ограниченного осью х и обвязкой пучка).

Если внести в последнее равенство значения то после очевидных преобразований получим

Аналогично получаются соответствующие величины для нижней подводной части пучка, нужно только во всех формулах индекс 1 заменить на 2 и при этом считать, что для подводной части начало координат находится в нижней точке, ось у направлена вертикально вверх, а угол а отсчитывается против хода часовой стрелки. Кроме того,

где — удельный вес воды. Поэтому для подводной части пучка будем иметь:

Параметры нельзя задавать произвольно, так как верхняя и нижняя части пучка связаны следующими граничными условиями.

1. В точке водораздела должна быть общая касательная к верхней и нижней частям обвязки, т. е.

2. В точке водораздела обе кривые должны иметь общую абсциссу: Подставляя значения получим

где

относительный удельный вес пучка.

3. Для пучка должен выполняться закон Архимеда: Внесем в это равенство значения и учтем, что в силу Тогда получим

Легко проверить (мы не будем останавливаться на этом), что последнее условие эквивалентно равенству давлений на границе водораздела: или, учитывая (2.1),

При заданном относительном удельном весе То (или параметре для определения значений к граничным условиям (2.26), (2.27) и (2.29) нужно присоединить еще одно уравнение, определяющее форму пучка (при одной и той же длине обвязки плавающий пучок можно сделать за счет накачанной в оболочку транспортируемой жидкости более вытянутым по ширине или прпблпзпть его к кругу). Так как транспортировка пучка требует знания высоты подводной части и щирины 2а его, то в качестве основного коэффициента

формы пучка введем следзпющий параметр

Значение а можно получить из равенства (2.10), если заменить в нем индекс 1 на 2 и положить Тогда, принимая во внимание значение найдем

Комбинируя равенства (2.27) и (2.29) и заменяя угол на его значение из (2.26), получим три уравнения для определения чисел по заданным параметрам

Предположим, что эти трансцендентные уравнения решены и числа найдены (мы еще вернемся к решению этих уравнений). Тогда легко найти следующие отношения, не содержащие неизвестную величину Т:

Здесь длина всей обвязки, с — второй коэффициент формы пучка, площадь поперечного сечения пучка.

Покажем для примера, как, зная можно вычислить первое отношение. Пользуясь равенствами (2.13), (2.22), (2.26) и (2.28), получим

Аналогично вычисляются и другие отношения (2.35). Таким образом, все геометрические элементы пучка легко определяются отцошерий, еслц задац одцц

линейный параметр Наконец, уравнения (2.10) и (2.14) позволяют определить относительные координаты надводной части обвязки в долях величины как функции угла а аналогичные уравнения с заменой индекса 1 на 2 дают возможность определить относительные координаты нижней части обвязки Задавая а в указанных пределах, можно по точкам построить кривую равновесия.

Перейдем к вычислению натяжения в обвязке. Для этого проинтегрируем равенство (2.3). Тогда, учитывая, что при изменении угла а от 0 до ордината у будет меняться от 0 до получим

Аналогично для нижней части обвязки

Складывая оба равенства и принимая во внимание, что (так как будем иметь

отсюда

Из этой формулы сразу следует, что в сделанных предположениях (жидкостная теория) поперечное сечение пучка не может иметь форму правильного круга. Действительно, при правильном круге радиуса имеем Но тогда что невозможно.

Натяжение в обвязке лучше всего вычислять в долях веса пучка Таких отношений можно получить несколько. Так, например, из равенства (2.13) найдем

Следовательно,

где найденные ранее отношения. Аналогичные расчетные формулы можно получить, пользуясь равенствами (2.21) и (2.36).

В заключение этого параграфа отметим, что если изогнуть упругий стержень, то его ось (эластиков) будет определяться уравнениями вида (2.10) и (2.14) (см., например, [2]). Поэтому некоторые авторы называют теорию пучка эластиковой теорией.