§ 2.3. Влияние упругой деформации

До сих пор мы считали, что нить нерастяжима. Рассмотрим, какое влияние оказывает на однородную цепную линию упругая деформация, подчиняющаяся закону Гука. Задачу будем решать строгими методами (в рамках принятой модели абсолютно гибкой нити) и только в конце дадим оценку целесообразности применения их.

Как уже отмечалось в главе I, основное уравнение статики нити (1.2.1), а следовательно, и дифференциальные уравнения цепной линии (1.1) справедливы как для нерастяжимой, так и для растяжимой нити. Нужно только иметь в виду, что для растянутой нити сила тяжести отнесенная к единице длины нити, является величиной переменной, зависящей от натяжения Поэтому для нити, подверженной линейной деформации, во втором уравнении (1.1) величину нужно выразить через закон растяжения нити.

Пользуясь равенствами (1.1.12) и (1.1.14), получим

где — сила тяжести, отнесенная к единице длины еще нерастянутой нити. При растяжении по закону Гука

где а — удельное относительное удлинение нити (см. (1.1.6)). Следовательно,

Воспользуемся уравнениями равновесия (1.1)

Второе уравнение с помощью (3.3) принимает вид

Решение этого уравнения целесообразно провести в параметрической форме, выбрав в качестве параметра угол а между осью х и касательной к нити. Имеем

Следовательно,

Теперь уравнение (3.5) приводится к следующей форме:

Из (3.6) найдем два выражения для

Внесем в (3.8) сначала первое, а затем второе значения для и решим полученные уравнения относительно

или, интегрируя,

где

Эти уравнения в параметрической форме определяют растянутую по закону Гука цепную линию. Дальнейшие

вычисления можно несколько упростить, если перейти к новой переменной

Пользуясь этим равенством легко установить следующие формулы;

В новой переменной уравнения (3.11) принимают вид

Покажем, что при из этих уравнений вытекает обычное уравнение цепной линии. Действительно, при , получим

Отсюда

т. е. уравнение (1.6).

Обозначим через значения параметра и в точках соответственно. Так как растянутая цепная линия проходит через точку В, для которой то постоянные определятся равенствами

Цепная линия проходит и через точку А. Поэтому при Подставляя эти граничные условия в уравнения (3.17) и учитывая значения получим после очевидных преобразований

Эти два уравнения содержат три неизвестные величины Для составления третьего уравнения проще всего воспользоваться условием равновесия всей нити. Если обозначить длину нити до растяжения через а через вертикальные проекции реакций точек закрепления, то будем иметь

где вес нити. Из условия равновесия точек следует

Здесь вертикальные проекции натяжения в точках а значения угла а в тех же точках. Подставив эти значения для и в (3.19), получим

С помощью этого равенства можно упростить уравнения (3.18). Упрощение первого уравнения очевидно, а для второго уравнения учтем следующее преобразование (см. формулу

Пользуясь равенством (3.20) и присоединяя его к преобразованным уравнениям (3.18), получим

Из этих уравнений по заданным можно найти Предположим, что уравнения (3.21) решены и числа а найдены. Тогда натяжение растянутой цепной линии в любой ее точке найдем по формулам (3.7) и (3.14):

В вершине О цепной линии следовательно, Стрелу провисания растянутой линии найдем из второго уравнения подставив в него и учтя значение

или, принимая во внимание равенство (1.10),

Нам осталось определить длину растянутой цепной линии. Для этого, пользуясь равенствами (3.10), найдем сначала дифференциал дуги:

Отсюда

Интегрируя в пределах от до получим

или, учитывая равенства (3.12), (3.14), (3.16) и (3.21),

Таким образом, задача свелась к решению уравнений (3.21). Вычисления значительно упрощаются, если граничные точки находятся на одном уровне. Действительно, в этом случае и из второго уравнения (3.21) вытекает единственное решение

что очевидно в силу симметрии.

Оставшиеся два уравнения принимают вид

или, исключая

Это уравнение содержит одну неизвестную величину а. При упрощаются и выражения для длины растянутой цепной линии и стрелы провисания. Действительно, учитывая равенства (3.27) и (3.26), получим

В сделанных предположениях все полученные формулы являются точными. Основные трудности решения задачи при состоят в определении корней а уравнений (3.21), а при корня а уравнения (3.28). Для конкретных числовых условий решение легко реализуется на ЭВМ.

Для случая, когда модуль упругости нити (см. (1.1.4)) значительно превосходит ее вес можно дать приближенное аналитическое решение. Мы покажем это на примере растяжимой цепной линии, концы которой закреплены на одном уровне

Если вес нити значительно меньше модуля упругости то число будет значительно меньше единицы. Положим

Теперь уравнение (3.28) принимает вид

Будем искать решение этого уравнения в форме ряда, расположенного по степеням

где значение параметра а при отсутствии растяжения нити. Внесем это выражение для а в уравнение (3.32) и разложим обе части в ряды по степеням Тогда, ограничиваясь членами первого порядка малости, получим

Отсюда, сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях получим

Первое равенство определяет параметр для нерастяжимой нити (см. равенство (1.21) при а из второго находим

Подставим это значение для в (3.33). Тогда, учитывая равенство (3.31) и ограничиваясь принятой точностью, найдем

Для длины растянутой нити будем иметь

Пример. Длина однородного стального троса в нерастянутом состоянии равна площадь поперечного сечения Концы троса подвешены на одном уровне на расстоянии друг от друга. Полагая, что удельный вес стали , а модуль упругости определить растяжение троса и изменение горизонтальной составляющей натяжения.

Пользуясь формулой (1.1.7), найдем

Вес одного погонного метра троса до растяжения вес всего троса Это число мало по сравнению с поэтому можно воспользоваться приближенными формулами.

С помощью уравнения (1.23) и таблицы 2.1 находим значение параметра троса, если бы он не подвергался растяжению. Имеем

де стрела провисания нерастянутого троса.

Подставляя найденные величины в (3.36) и (3.37), получим

Эти числа наглядно показывают, почему во многих случаях не следует учитывать растяжение нити. Заметим здесь же, что если натяжение нити сравнимо с модулем упругости то растяжение дает ощутимые результаты, в частности растяжение цепной линии необходимо учитывать при малой стреле провисания, когда натяжение троса достаточно велико. Однако при этом следует пользоваться не точными формулами этого параграфа, а приближенными формулами, которые будут даны в § 3.4.

Этот пример поучителен еще в одном плане. Строгое решение задачи о равновесии растяжимой цепной линии

приводит к сравнительно сложному анализу и требует даже применения ЭВМ для определения корней системы уравнений (3.21). Между тем простой прикидочный расчет дает оценку метода. Действительно, натяжение нерастянутого троса в нижней точке равно а в верхней точке Среднее значение натяжения будет

Отклонения крайних значений натяжения от среднего значения не очень велико и для инженерного расчета можно считать, что Но тогда относительное растяжение будет определяться равенством

Эта величина практически совпадает со значением вычисленной точными методами.

Приведенный элементарный расчет полезен не столько для приближенного вычисления относительного удлинения троса, сколько для оценки целесообразности применения строгих методов. Так, в данном примере, получив прикидочное значение для можно сразу пренебречь растяжением троса — ведь исходные данные известны нам с меньшей точностью, да и модель идеальной нити, на которой построена вся теория, не может дать такое приближение к реальным объектам.