Часть 1. Основы статики нити

ГЛАВА I. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ НИТИ

§ 1.1. Основные определения

В механике под нитью понимается материальная система одного измерения, которая под действием приложенных сил может принять форму любой геометрической линии. Нить, не оказывающая сопротивления изгибу и кручению, называется идеальной или абсолютно гибпой нитью. Идеальная нить может быть растяжимой или нерастяжимой (крайняя абстракция). В дальнейшем, при отсутствии специального указания, под термином «гибкая нить» или просто «нить» будем понимать идеальную нерастяжимую или растяжимую нить.

При расчете нити на прочность, вычислении поверхностных сил, действующих на нить, а также в ряде других случаев необходимо учитывать поперечные размеры нити. Поэтому, говоря об одномерности нити, мы, конечно, имеем в виду, что поперечные размеры малы по сравнению с длиной и что они не нарушают перечисленных выше свойств идеальной нити.

Модель идеальной нити представляет некоторую абстракцию, однако во многих случаях пряжа и нитки (в процессе их изготовления), тросы, цепи и канаты вполне удовлетворительно отвечают этой модели. К этой же модели сводятся иногда плоские задачи механики некоторых лент и оболочек. Поэтому теория идеальной нити имеет большое прикладное значение.

Пусть нить под действием приложенных к ней сил приняла некоторую равновесную конфигурацию.

Положение каждой точки растянутой или нерастяжимой нити будем определять дуговой координатой 5, отсчитываемой от фиксированной точки нити, например точки А (рис. 1.1). Выделим на нити какой-нибудь ее отрезок длиной и массой . Плотностью растянутой нити в точке (иногда говорят линейной плотностью) называется предел отношения при условии, что точка стремится по нити к точке М:

Рис. 1.1.

Рис. 1.2.

В общем случае линейная плотность нити зависит от выбранной точки, т. е.

Если до растяжения плотность нити была одинакова во всех точках, то нить называется однородной, в противном случае — неоднородной. При данном определении линейной плотности нити ее неоднородность может быть вызвана неоднородностью материала или различной площадью поперечного сечения нити.

Пусть нить находится в равновесии под действием распределенных сил. Сделаем в точке нити мысленный разрез и рассмотрим силу с которой часть нити, расположенная в направлении положительного отсчета дуговой координаты (на рис. 1.2 правая часть нити) действует на другую (левую) часть нити. Очевидно, что эта сила, называемая натяжением нити, направлена по общей касательной к нити в точке (в § 1.2 это утверждение будет доказано). Естественно, что левая часть нити действует на правую часть с

такой же по модулю, но направленной в противоположную сторону силой, т. е. силой

В каждой точке нити имеется свое натяжение Поэтому при равновесии натяжение нити будет функцией дуговой координаты

Если ввести единичный касательный вектор то будем иметь

где модуль натяжения нити.

Нормальное напряжение нити о определяется, как обычно, равенством

Здесь площадь поперечного сечения нити.

Пусть до растяжения длина элемента нити была а после растяжения она сделалась равной Так как растяжение нити зависит от нормального напряжения, то отношение представляет некоторую функцию а

Для однородной нити можно считать, что это отношение зависит только от натяжения

Задавая функцию мы получим соответствующий закон растяжения, например упругое, пластическое растяжение и т. п. Остановимся более подробно на упругом растяжении однородной нити по закону Гука, когда выполняется равенство

где — модуль упругости нити. Пользуясь равенством (1.3), получим

отсюда

где а удельное относительное удлинение нити. Если нить нерастяжима, то

Заметим, что модуль упругости нити имеет размерность обычной силы: в Международной системе физических единиц в технической системе соответственно и Очевидно, что

где модуль упругости материала нити пли

Пусть диаметры нити до и после растяжения. Тогда относительное изменение диаметра нити определится равенством

Считая, что нить изотропна и что растяяение подчинено закону Гука, будем иметь

где коэффициент Пуассона. Пользуясь равенствами (1.4) и (1.6), найдем значение диаметра нити после растяжения

Как правило, величина ничтожно мала по сравнению с единицей. Поэтому изменением диаметра нити при ее растяжении обычно пренебрегают (но крайней мере для стальных тросов) и полагают, что для растянутого троса

Рассмотрим нить, на которую действует распределенные по ее длине силы, например силы тяжести, силы

давления ветра и т. п. Главный вектор сил, действующих на элемент нити обозначим через и будем считать, что он приложен к точке находящейся мелщу (рис. 1.3). Силой, отнесенной к единице длины нити, или интенсивностью распределенных сил называется выражение

Отсюда с точностью до членов высшего порядка относительно получим

Размерность силы, отнесенной к единице длины нити, отличается от размерности обычной силы: в системе она равна в технической системе —

Рис. 1.3.

Распределенные силы, действующие на нить, можно разбить на массовые и поверхностные. К первым относятся силы, зависящие от массы нити, например силы тяжести и силы инерции. Поверхностные силы, например силы давления набегающего потока, от массы нити не зависят (они могут зависеть от площади продольного диаметрального сечения нити, т. е. от ее диаметра, скорости набегающего потока и других факторов).

Остановимся более подробно на массовых силах. Если через обозначить силу, отнесенную к единице длины, то сила отнесенная к единице массы нити, определится равенством

В частности, для силы тяжести будем иметь

где ускорение силы тяжести, сила тяжести, отнесенная к единице длины нити. Для однородной нерастянутой нити сила численно равна весу единицы длины пити.

Так как масса нити при растяжении не изменяется, то будем иметь

Отсюда, пользуясь равенством (1.3), получим

или

Таким образом, массовые силы, отнесенные к единице длины растяжимой нити, можно представить равенством

Поверхностные силы, отнесенные к единице длины, обычно пропорциональны диаметру нити

где коэффициент пропорциональности X зависит от разных факторов (например, от скорости потока, плотности среды и т. п.). Как уже отмечалось, в подавляющем большинстве случаев изменением диаметра растяжимой нити можно пренебречь, и тогда число в последней формуле следует считать постоянным. Для растяжимых нитей, модуль упругости которых очень мал, возможен случай, когда изменение диаметра нити нужно учесть. Тогда следует воспользоваться формулой (1.8).

В общем случае сила отнесенная к единице длины нити, зависит от дуговой координаты точки положения последней в пространстве, направления касательной или нормали к нити и натяжения Действительно, плотность и, следовательно, сила тяжести неоднородной нити зависят от положения точки на нити, т. е. от ее дуговой координаты Сила гидростатического давления направлена по нормали к нити и модуль ее пропорционален высоте уровня, т. е. эта сила зависит от координат точки. Из формулы (1.15) следует, что в аналитическое выражение силы отнесенной к единице длины растянутой нити, явно входит модуль

натяжения Поэтому, если рассматривать пить в прямоугольной системе координат то в общем случае будем иметь

или в векторных обозначениях

где радиус-вектор точки единичный касательный вектор.

Помимо распределенных сил на нить могут действовать конечные силы, приложенные к одной или нескольким точкам нити. Такие силы называются сосредоточенными. Например, сила тяжести вагонетки, находящейся на канатной дороге, представляет сосредоточенную силу. На участках действия распределенных сил нить является гладкой, т. е. в каждой ее точке имеется вполне определенная непрерывно изменяющаяся касательная, а точки приложения сосредоточенных сил являются угловыми.

Рис. 1.5.

Рис. 1.4.

На рис. 1.4 участки нити и находятся под действием распределенных сил, а в угловой точке приложена сосредоточенная сила В дальнейшем для простоты изложения распределенные силы, отнесенные к единице длины нити, будем называть просто силамщ а конечные силы — сосредоточенными. Отметим также, что нить может быть нагружена и распределенными моментами (в настояшей книге они не рассматриваются).

Для полного решения задачи на равновесие нити, кроме активных сил (распределенных и сосредоточенных) и закона растяжения нити нужно определить еще граничные условия. Если концы нити и 5 не

закреплены, то к ним необходимо приложить конечные силы причем они должны удовлетворять условиям (см. рис. 1.2 и 1.5)

Если же концы нити закреплены, то эти равенства могут служить для определения реакций точек закрепления. Чаще всего встречаются нити с двумя закрепленными концами, реже — нити с одним закрепленным и одним свободным концами, причем задается или можно определить из дополнительной информации значение силы, приложенной к свободному концу (положение его, как правило, неизвестно). Встречаются и более сложные граничные условия. Многие из них будут рассмотрены при изучении конкретных задач. Кроме непосредственных условий на границах, должны быть заданы геометрические (один или несколько) параметры, например длина нити, стрела провисания и т. п. Эти элементы мы будем условно относить также к граничным условиям.

Теперь можно сформулировать основную задачу о равновесии идеальной нити: даны действующие на нить силы (распределенные и сосредоточенные), закон растяжения нити и найдены в необходимом числе граничные условия. Требуется определить форму равновесия нити, натяжение ее в любой точке и изменение длины (для растяжимых нитей).

В заключение отметим, что при решении конкретных задач основные трудности возникают, как правило, при интегрировании дифференциальных уравнений равновесия нити. Однако следует иметь в виду, что во многих случаях уравнения равновесия нити интегрируются сравнительно легко, а наибольшие затруднения появляются при построении решения, удовлетворяющего граничным условиям.