§ 1.4. Потенциальные силы

Пусть на нерастяжимую нить действует потенциальная не обязательно массовая сила т. е.

где потенциальная энергия, отнесенная к единице длины нити (растяжимая нить будет рассмотрена ниже). В проекциях на координатные оси будем иметь

По определению потенциальная энергия зависит только от координат точки

причем предполагается, что эта функция однозначна и дважды дифференцируема по всем координатам.

Следует различать потенциальную энергию, отнесенную к единице длины нити, от обычной потенциальной энергии. Потенциальная энергия, рассматриваемая в

физике, в частности в механике, имеет размерность работы (например, или а потенциальная энергия, отнесенная к единице длины пити, имеет размерность силы (соответственно и или

Вычислим проекцию потенциальной силы на касательную к нити. Имеем

где углы между касательной и осями координат

Пользуясь равенствами (2.3) и (4.2), получим

Величина, стоящая в скобках, равна полной производной от по Поэтому для потенциальных сил будем иметь

Внесем это значение для в первое уравнение (3.3)

Отсюда

где -постоянная интегрирования. Этот интеграл называется интегралом натяжения.

Рассмотрим теперь растяжимую нить, на которую действует массовая сила, определяемая равенством (1.15)

где сила, отнесенная к единице массы. Если эта сила потенциальная и ее потенциальная энергия, то равенство (4.4) примет вид

Подставляя в первое уравнение (3.3), получим

или, сокращая на разделяя переменные и интегрируя,

Это равенство определяет интеграл натяжения для растяжимой нити, находящейся под действием массовой потенциальной силы. В частности, для растяжимой по закону Гука нити интеграл натяжения примет вид (см. равенство

Заметим, что интеграл натяжения (4.5) или (4.7) существует и в том случае, когда, помимо потенциальных сил на нить действует распределенная сила, перпендикулярная касательной (так как она не изменяет равенства (4.4) или (4.6)). Конечно, это не означает, что добавление такой распределенной силы не изменяет натяжения нити.

Пример. Если однородная перастяжимая пить находится в равновесии под действием силы тяжести, то где сила тяжести единицы длины пити, вертикальная координата рассматриваемой точки. Интеграл натяжения (4.5) принимает вид

Если же тяжелая однородная нить растяжима, то где — вес единицы длины пити до ее растяжения. Теперь и интеграл (4.8) растяжимой по закону Гука пити будет

Эти интегралы не изменяются, если на нить будут дополнительно действовать силы, перпендикулярные касательной.

Интеграл натяжения может в некоторых случаях существенно упростить процесс интегрирования дифференциальных уравнений равновесия нити, в частности с его помощью можно уменьшить число уравнений равновесия.

в заключение отметим, что вместо потенциальной энергии иногда вводят силовую функцию которая отличается от только знаком