§ 10.2. Поперечные колебания сильно натянутой нити (струны)

Рассмотрим растяжимую нить, натяжение которой значительно превосходит по модулю действующие на нее силы, так что последними можно пренебречь. Очевидно, что такая нить, закрепленная в двух точках, принимает

в положении равновесия форму прямой линии. Действительно, при из второго уравнения (1.3.3) следует что соответствует прямой линии. Такую нить называют обычно струной.

Будем изучать поперечные колебания струны, считая, что каждая ее точка может перемещатьсд только в направлении, перпендикулярном равновесному положению, т. е. оси X (рис. 10.1). Кроме того, будем предполагать, что поперечные перемещения всех точек струны лежат в одной плоскости и малы. В соответствии с общей теорией малых колебаний перемещения и производные считаются величинами первого порядка малости. Покажем, что в сделанных предположениях с точностью до членов высшего порядка малости при колебаниях струны ее натяжение будет все время одинаково во всех точках. Действительно, пусть длина элемента нити в момент времени и в положении равновесия соответственно. Тогда

или, пренебрегая квадратом производной по сравнению с единицей,

Рис. 10.1.

Это означает, что при колебании струны растяжение с принятой точностью не изменяется и, следовательно, оно не вызывает с течением времени изменения ее натяжения в рассматриваемой точке.

Составим теперь дифференциальные уравнения движения нити (8.1.3), помня, что в сделанных предположениях внешние силы равны нулю, колебания нити происходят в одной плоскости и что перемещения точек нити перпендикулярны оси х (рис. 10.1). Из последнего следует, что следовательно, первые два уравнения (8.1.3) принимают вид (переменная у

заменена на )

Имеем

Теперь первое уравнение (2.1) можно записать следующим образом:

Так как, согласно установленному ранее, натяжение в точке нити не зависит от времени то из последнего равенства находим, что натяжение нити одинаково во всех ее точках, т. е. Это полностью доказывает сделанное ранее утверждение.

Подставив во второе уравнение (2.1) значение получим дифференциальное уравнение свободных поперечных колебаний струны

где постоянная величина а, имеющая размерность скорости, определена равгаством

Уравнение (2.2), называемое волновым уравнением, должно удовлетворять двум начальным и двум граничным условиям. Начальные условия имеют вид

Первое из этих уравнений определяет форму, а второе характеризует распределение скоростей точек струны в начальный момент времени обе функции должны быть заданы.

Граничные условия

показывают, что перемещения точек закрепления струны равны нулю в любой момент времени.

Волновое уравнение хорошо изучено и ему посвящена большая литература (см., например, [9,26]). Поэтому мы приведем две формы его решения в очень кратком изложении.

1. Решение в форме Даламбера. Подстановкой

уравнение (2.2) приводится к виду (читатель без труда сможет самостоятельно провести все преобразования)

Запишем это уравнение следующим образом:

отсюда

где - произвольная функция . Интегрируя полученное уравнение по и рассматривая как параметр, найдем

где - произвольная функция Обозначив теперь

и возвращаясь к старым переменным найдем общее решение волнового уравнения (2.2) в форме Даламбера

где произвольные, дважды дифференцируемые функции.

Структуру функций найдем, подчинив полученное решение начальным условиям (2.4). Подставляя в получим

Проинтегрируем второе равенство

Пользуясь (2.10) и первым равенством (2.9), найдем

Такова структура функций Внеся полученные выражения в (2.8), получим

Непосредственным дифференцированием легко проверить, что полученное выражение для представляют решение волнового уравнения (2.2), удовлетворяющее начальным условиям (2.4).

Решение (2.11) можно записать и в следующей форме:

где

Рассмотрим случай достаточно длинной струны (в теории говорят иногда о бесконечно длинной струне). Пусть в начальный момент времени где-то в середине струны небольшому ее участку дали начальное отклонение и каждой точке этого участка сообщили скорость Предположим далее, что в

частном решении

независимые вообпде говоря переменные связаны соотношением следовательно, Физически это означает, что движению точки с постоянной скоростью а в положительном направлении (слева направо) отвечает постоянное смещение, равное (рис. 10.2, а). Такое смещение точек струны называется прямой волной.

Рис. 10.2.

Рис. 10.3.

Аналогично, частному решению

отвечает обратная волна (рис. 10.2, б), при которой .

Постоянное число а, определяемое равенством (2.3), называется скоростью распространения пюперечных волн по струне.

На рис. 10.3 показан процесс распространения волн. На рис. 10.3, а изображено начальное отклонение струны

на участке простоты предполагаем, что На рис. показаны прямая и обратная волны в начальный момент времени, при этом учтено, что, согласно (2.13), при обе волны имеют одинаковую конфигурацию, определяемую равенствами На рис. 10.3, в показано положение прямой и обратной волн в момент времени а на рис. их положение при

Не останавливаясь на процессе отражения волн от точек закрепления, перейдем к рассмотрению второго метода решения волнового уравнения.

2. Метод Фурье. Будем искать решение уравнения (2.2) в форме произведения двух функций

из которых первая зависит только от х, а вторая — от Имеем

Внесем эти выражения для производных в уравнение (2.2)

или

Левая часть этого равенства зависит только от времени а правая — только от Это возможно только в том случае, если оба отношения представляют постоянное число. Обозначим его через Теперь последнее равенство примет вид

Отсюда

Запишем общее решение уравнения (2.16) в следующей форме:

Воспользуемся первым граничным условием (2.5) и равенством (2.14). Имеем

При любом это равенство возможно только при Теперь из (2.17) найдем, что следовательно,

(не нарушая общности, можно положить

Пользуясь вторым граничным условием и (2.14), получим

Это уравнение имеет бесчисленное множество корней

Внесем значение в уравнение (2.15). Тогда общее решение его будет иметь вид

где произвольные постоянные.

Учитывая значение из (2.19), получим одно из частных решений волнового уравнения (2.2)

Так как уравнение (2.2) линейное, то общее решение будет складываться из частных решений

Введя новые постоянные по формулам

общему решению (2.20) можно придать следующую форму:

Это решение показывает, что движение каждой точки струны можно рассматривать как наложение бесконечного числа гармонических колебаний (в практических задачах ограничиваются обычно первыми несколькими колебаниями).

Продифференцируем (2.20) по

Воспользуемся теперь начальными условиями (2.4). Для этого подставим в (2.20) и и одновременно правые части заменим на соответственно. Имеем

Умножим первое равенство на и проинтегрируем его от 0 до

Учтем теперь формулы ортогональности тригонометрических функций (их можно проверить непосредственным интегрированием)

Пользуясь равенствами (2.25) и (2.26), найдем

(формула для получается из второго равенства (2.24) аналогичным методом).

Полученные формулы полностью решают задачу о колебании струны: зная натяжение струны ее линейную плотность и длину а также начальные условия (2.4), по формуле (2.3) находим параметр а (скорость волны), затем по равенствам (2.27) вычисляем коэффициенты а и после чего закон поперечных колебаний любой точки струны определится по (2.20) или (2.22). Каждый член ряда (2.22) называется гармоникой или стоячей волной, точки струны гармоники совершают гармонические колебания с одинаковой начальной фазой одинаковой частотой и амплитудой Основная частота получается при

Остальные частоты получаются умножением ее на 2, 3 и т. д. Точки, в которых стоячая волна пересекает ось х при всех называются узловыми — они определяются из равенства

Рис. 10.4.

В практических расчетах на колебания нитей обычно определяют величины, не зависящие от начальных условий. Для струны это скорость распространения волны (параметр а), основная частота формы колебаний и узловые точки. На рис. 10.4 показаны формы трех первых колбаций. Основная (первая) гармоника

не имеет узловых точек, вторая имеет одну узловую точку третья — две узловые точки: