§ 5.3. Граничные условия

Для тяжелой нити, находящейся под давлением набегающего потока, наиболее характерны граничные условия с одним закрепленным и одним свободным концом, удерживающим ничем другим неукрепленное тело (аэростат [8], мину [10], трал, причальный поплавок, измерительный прибор и т. п.). Здесь возможны два метода задания граничных условий.

1. Определяются углы натяжение нити (троса) в точке закрепления А, В этом случае граничные условия имеют вид

причем предполагается, что начало координат совпадает с точкой закрепления нити А, Для того чтобы учесть реальные условия зависящие от удерживаемого вторым концом нити тела, этот метод требует непосредственного измерения всех трех величин: гл и Гл. Поэтому задание условий на закрепленном конце нельзя признать достаточно удобным, особенно для составления расчетных таблиц, например таблиц, по которым, зная скорость потока и параметры тела (его вес, объем и т. п.), можно сразу определить величину горизонтального сноса удерживаемого тела. Из этого не следует, конечно, что этот метод нужно исключить из рассмотрения — в тех случаях, когда информация об удерживаемом теле недостаточна

(см. следующий метод или для экспериментальной проверки, определение граничных условий на закрепленном конце является наиболее удобным способом решения задачи.

2. Второй метод, предложенный для простейшего случая Крыловым [10], не требует постановки эксперимента и состоит в задании граничных условий не на закрепленном, а на свободном конце нити. Эти условия определяются из уравнений равновесия удерживаемого тела. Так как этот метод практически одинаков для различных тел, то мы проиллюстрируем его для двух тел; при этом будем считать для простоты, что скорость потока горизонтальна но может менять свое направление по азимуту

а. Граничные условия для привязного аэростата. На находящийся в равновесии аэростат действуют в первом приближении следующие силы (все приводимые ниже сведения об аэростатах взяты из книги Б. И. Халепского [27]): вес подъемная сила (для невыполненного аэростата подъемная сила на всех высотах одинакова), сила лобового сопротивления аэродинамическая подъемная сила и сила реакции троса равная по модулю натяжению его в точке В и направленная в противоположную сторону (рис. 5.7). Кроме того, на аэростат действуют опрокидывающий и стабилизирующий моменты, которые мы не будем учитывать, так как в нужные нам уравнения они не входят. Будем также считать, что скорость ветра по всей высоте аэростата одинакова и равна скорости его в точке В.

Рис. 5.7.

В сделанных предположениях все силы, действующие на аэростат, находятся в одной вертикальной плоскости, проходящей через вектор скорости и составляющей с плоскостью угол где

высота подъема аэростата Обозначим через 0в угол между направлением касательной к тросу в точке 5 и горизонтальной плоскостью и составим два уравнения равновесия аэростата

Отсюда

Таким образом, граничные условия будут при

Поясним входящие в формулы (3.2) величины. Если -обем аэростата, удельные веса воздуха и наполняющего аэростат газа соответственно, то подъемная сила будет

Силы и вычисляются по формулам

где аэродинамические постоянные, зависящпо от угла атаки а рис. 5.7), плотность воздуха на высоте подъема аэростата скорость ветра, площадь главного поперечного сечения, которая для аэростата вычисляется по следующей приближенной формуле:

Значения аэродинамических коэффициентов в зависимости от угла атаки а приведены в следующей таблице:

Удельный вес воздуха равен где плотность воздуха в завшшмости от высоты z определяется равенством

В этом равенстве плотность воздуха на уровне моря при температуре ускорение силы тяжести (предполагается, что при всех z, удовлетворяющих условию

Пример 1. Аэростат весом и объемом поднялся на высоту скорость ветра на этой высоте равна угол атаки Определить натяжение троса угол в верхней точке, если считать, что аэростат был заполнен на земле водородом на и его полное выполнение произошло на высоте

Объем аэростата на старте равен удельный вес воздуха на земле удельный вес водорода По формуле (3.4) найдем подъемную силу

Так как полное выполнение аэростата произошло при то подъемная сила на этой высоте будет равна найденной величине а объем аэростата сделается равным Площадь главного сечения на этой высоте найдем по формуле (3.6): Плотность вычислим по формуле (3.7) при Аэродинамические коэффициенты при угле атаки 10° равны По формулам (3.5) найдем лобовое сопротивление и аэродинамическую подъемную силу

Пользуясь равенствами (3.2), получим

Угол определяется из метеорологических наблюдений по направлению скорости ветра

Граничные условия для шарового тела, находящегося в воде. На находящееся в воде шаровое тело (например, батисферу) действуют в основном те же силы: вес тела архимедова сила и лобовое сопротивление (подъемная сила для шарового тела равна нулю). Формулы (3.2) принимают вид

Силу лобового сопротивления для шарового тела, находящегося в вода, А. Н. Крылов [10], шкомендует вычислять по формуле

Здесь площадь поперечного сечения шарового тела в квадратных метрах, скорость течения в (скорость в узлах переведена нами в

Пример 2. Пусть радиус шарового тела скорость течения чистая плавучесть тела Имеем:

Условия (3.3) с внешней стороны совпадают с условиями (3.1), но между ними имеется большое принципиальное различие. Условия (3.1) непосредственно не учитывают влияния удерживаемого нитью тела, поэтому они должны устанавливаться экспериментально путем измерения. Условия (3.3) определяются на основе анализа равновесия удерживаемого тела и они могут быть вычислены по исходным данным путем решения элементарных уравнений.

Кроме рассмотренных условий (один конец нити закреплен, а второй свободен, но удерживает ничем другим не укрепленное тело), иногда приходится определять влияние установившегося потока на нить с двумя закрепленными концами. В общем виде уравнения (2.5) — (2.7) при таких граничных условиях решаются даже на ЭВМ более сложными методами. Но, как правило, влияние набегающего потока на нить с двумя закрепленными точками приходится рассматривать для цепной линии с малой стрелой провисания (антенны, линии электропередач и т. п.). В этом случае можно применять приближенные методы, один из которых будет рассмотрен в § 5.5.