§ 8.2. Естественные уравнения движения нити

В некоторых случаях основное уравнение динамики нити (1.2) целесообразно выразить в проекциях не на оси неподвижной декартовой системы координат, а на оси естественного трехгранника. Для составления этих проекций необходимо йредварительно остановиться на некоторых вопросах кинематики нити.

Прежде всего нам понадобятся формулы Френе, которые для движущейся нити имеют вид (сравните с

Здесь радиус кривизны (см. § 1.3), а радиус кручения, вычисляемый по формуле

где скобки означают смешанное скалярно-векторное произведение. Аналогично кривизне (см. формулу кручение можно рассматривать как скорость поворота бинормали по дуге, и в общем случае ее нельзя представить как производную от некоторого угла по дуговой координате Для плоской кривой

Рис. 8.2.

Введем в рассмотрение вектор Дарбу. Для этого зафиксируем время и дадим дуговой координате приращение Тогда естественный трехгранник перейдет в изменив при этом свою ориентацию (рис. 8.2, а). По теореме Эйлера — Даламбера существует вектор малого поворота с помощью которого ориентация трехгранника может быть совмещена с ориентацией трехгранника Векторам Дарбу

называется предел отношения вектора малого поворота приращению дуги когда последнее стремится к нулю:

Из этого определения видно, что вектор Дарбу можно рассматривать как угловую скорость вращения естественного трехгранника, вызванную изменением не времени а дуговой координаты Для линии двоякой кривизны вектор Дарбу нельзя представить производной от некоторого угла по дуговой координате.

Для вычисления вектора Дарбу напомним, что если с подвижной системой координат жестко связан какой-нибудь вектор то имеет место равенство

Здесь — угловая скорость подвижной системы. Из этого равенства и определения вектора Дарбу следует:

где вектор, жестко связанный с естественным трехгранником. Для вычисления положим в этой формуле сначала а затем Имеем

или, пользуясь формулами Фрепе (2.1),

Умножим слева первое равенство векторно на а второе на и учтем, что Тогда получим

Раскрывая двойные векторные произведения и учитывая, что будем иметь

Вычитая из первого равенства второе, найдем

Сравнивая множители при одинаковых ортах, получим

Подставляя эти значения скалярных произведений в равенства (2.5), найдем вектор Дарбу

Отсюда получим соответствующие проекции

Из определения вектора Дарбу и известной формулы кинематики, связывающей полную и локальную производные, следует, что для вектора заданного в трехграннике и зависящего от дуговой координаты и времени справедлива формула

При изменении времени на пить в общем случае изменит свою форму, а точка принадлежащая нити, не меняя своей дуговой координаты 5, переместится на вектор Трехгранник займет новое положение изменив при этом свою ориентацию (рис. 8.2, б). Угловую скорость естественного

трехгранника вызванную изменением времени при неизменной дуговой координате 5, обозначим через Аналогично формуле (2.2) будем иметь

где вектор малого поворота, с помощью которого ориентация трехгранника может быть совмещена с ориентацией трехгранника

Для вектора а имеет место формула

Равенства (2.8) и (2.10) справедливы для любого вектора а Используем их для определения связей, которым должны удовлетворять проекции скорости точки нити Для этого составим два выражения для производной от V по Последовательно получим (в конце используется формула

Локальная производная от орта равна нулю (как относительная скорость вектора, жестко связанного с трехгранником). Поэтому имеем

или, раскрывая определитель,

Применим теперь к левой части этого равенства формулу (2.8):

Пользуясь определением локальной производной и

раскрывая определитель, получим

Сравнивая оба выражения для найдем искомую связь для скоростей (формулы Резаля — Флоке):

Для плоской нити и эти уравнения принимают вид

Уравнения (2.11) и (2.12) справедливы для любого движения нити, в частности они справедливы и для случая, когда нить, не меняя своей формы, перемегцается как твердое тело.

Нам осталось установить связь между угловыми скоростями Для этого снова возьмем неизменный относительно трехгранника вектор а. Для него локальные производные равны нулю и формулы (2.8) и (2.10) принимают вид

Дифференцируя первое из них по 5, а второе по получим

Раскроем двойные векторные произведения и вычтем из первого равенства второе:

Величина, стоящая в квадратных скобках, равна двойному векторному произведению и,

следовательно, последнее равенство принимает вид

Так как вектор а произволен, то первый множитель этого произведения должен равняться нулю, т. е.

или, пользуясь равенствами. (2.8) и (2.10),

Уравнение (2.13) или эквивалентное ему (2.14) называется уравнением Дарбу, и оно устанавливает связь, которой должны удовлетворять кинематические элементы движущейся нити. В проекциях на оси естественного трехгранника уравнение (2.14) эквивалентно трем скалярным уравнениям (см. равенства

Для плоской нити эти равенства обращаются в тождества. Действительно, для плоской нити имеем: где угол между касательной к нити и осью Первые два равенства (2.15) принимают вид а третье переходит в тождество

Перейдем теперь к проектированию основного уравнения динамики нити (1.2) на оси естественного трехгранника. Составим производную вектора по Имеем

с учетом этого равенства получим для проекций уравнения (1.2) на оси

Воспользуемся формулой (2.10) для вектора

В проекциях на оси естественного трехгранника иметь

Теперь дифференциальным уравнениям движения нити (2.16) можно придать следующий вид:

Эти дифференциальные уравнения движения нерастяжимой идеальной нити должны интегрироваться в общем случае с учетом уравнений (2.11) и (2.15). Вся эта система девяти уравнений содержит девять неизвестных функций двух независимых переменных 5 и Конечно, для полного решения задачи нужно задать еще в соответствующем виде граничные и начальные условия.

Предположим, что вся система девяти дифференциальных уравнений решена, в частности найдены радиусы кривизны и кручения

Для решения конкретной задачи с учетом граничных и начальных условий натуральные уравнения (2.20) нужно преобразовать к уравнениям в явной форме. Для линии двоякой кривизны (время t в уравнениях (2.20) играет роль параметра) это требует, как правило, решения сравнительно сложных уравнений, но в случае плоской задачи и для общих теоретических выводов эти уравнения можно использовать с большой эффективностью.