ГЛАВА III. РАВНОВЕСИЕ ТЯЖЕЛЫХ НИТЕЙ С МАЛОЙ СТРЕЛОЙ ПРОВИСАНИЯ

§ 3.1. Уравнение равновесия

Как уже отмечалось в § 2.1, стрела провисания тяжелой нити (цепной линии) называется малой если она мала по сравнению с горизонтальным пролетом между граничными точками (рис. 3.1), т. е.

Случай малой стрелы провисания очень часто встречается в различных устройствах (радиоантенны, провода контактных сетей электрофицированных железных дорог и трамваев и т. п.).

Рис. 3.1.

Кроме того, теория нити с малой стрелой провисания имеет непосредственное отношение к расчету висящих конструкций, например мостов. Это объясняется тем, что при малой стреле провисания нить мало отклоняется от горизонтальной проекции ее и можно считать, что распределение силы тяжести висящей нити происходит не по ее длине, а по горизонтальной прямой, т. е. так же как и распределение нагрузки

висящей конструкции (рис. 3.2). Поэтому мы считаем целесообразным посвятить теории тяжелой нити с малой стрелой провисания отдельную главу.

Перейдем к составлению дифференциальных уравнений равновесия в предположении, что нить нерастяжима (влияние линейных деформаций на нить с малой стрелой провисания будет рассмотрено в § 3.4).

Рис. 3.2.

Так как на нить действуют вертикально направленные параллельные силы тяжести, то уравнения равновесия имеют вид (см.

В этих уравнениях постоянная интегрирования равна проекции натяжения нити в любой ее точке на горизонтальную ось X, Обозначим через силу тяжести, отнесенную к единице длины горизонтальной оси х, — и будем считать ее заданной функцией абсциссы действующая на элемент равна Поэтому сила, приходящаяся на единицу длины нити, равна и она равна проекции на направленную вертикально вниз ось

Из первого уравнения (1.2) найдем натяжение нити:

Подставив во второе уравнение (1.2) значения и сократив его на получим дифференциальное уравнение равновесия нерастяжимой нити, находящейся под действием вертикальной нагрузки, распределенной по горизонтали по произвольному закону:

Это уравнение решается простым повторным интегрированием

где новые произвольные постоянные.

Решение (1.6), справедливое при любом законе распределения нагрузки значительно упрощается при однородной нагрузке. Действительно, в этом случае и решение (1.6) принимает вид

Таким образом, нить, находящаяся в равновесии под действием вертикальной нагрузки, равномерно распределенной по горизонтали, принимает форму параболы. Такдй же вывод мы получили, рассматривая цепную линию с малой стрелой провисания (см. окончание § 2.1). Это служит обоснованием сделанного предположения, что для тяжелых нитей с малой стрелой провисания можно считать, что нагрузка распределена не по нити, а по ее горизонтальной проекции.

Прежде чем перейти к определению основных параметров параболической нити, покажем, что те же результаты можно получить с помощью интегро-дифференциального уравнения равновесия нити (1.8.6). Действительно, при отсутствии сосредоточенных сил

при уравнение (1.8.6) приводится к виду

или, учитывая, что

Это уравнение отличается от уравнения (2.7) только формой обозначения постоянной интегрирования и отсутствием постоянной (последняя обращается в нуль, если начало координат совпадает с любой точкой нити).

Перейдем к определению основных параметров параболической нити. Найдем прежде всего значение х, при котором правая часть уравнения (1.7) имеет минимум. Для этого вычислим производную и приравняем ее к нулю. Имеем

Отсюда

причем постоянная интегрирования имеет простой геометрический смысл (см. рис. 3.1). Теперь уравнение (1.7) принимает вид

или

где параметр а определен прежшш равенством (2.1.4)

При сделанном выборе начала координат (рис. 3.1) при Внося эти значения для

уравнение (1.10), найдем Следовательно,

Имеем

Внося в уравнение (1.12) значение найдем стрелу провисания

Заметим, что вершина параболы С может не принадлежать нити, так как последняя совпадает только с частью параболы (рис. 3.1, б).

Горизонтальную составляющую можно вычислить теперь по формуле

Обозначим через превышение по вертикали одной граничной точки над другой. Очевидно, что при Внося эти значения в уравнение (1.12) и решая полученное равенство относительно найдем

Если граничные точки находятся на одном уровне, то результат, очевидный из условия симметрии (рис. 3.3).

Рис. 3.3.

Для нитей с малой стрелой провисания угол а между касательной к нити и горизонтальной осью X мал. Но тогда величина будет мала по сравнению с единицей. На этом основании выражение для дифференциала дуги

можно разложить в ряд по степеням у и ограничиться первыми двумя членами. Имеем

Внесем в это равенство значение производной у из формулы (1.13):

Интегрируя в пределах от О до найдем длину параболической нити при малой стреле провисания

или, учитывая значение из равенства (1.16),

Если точки закрепления находятся на одном уровне, то согласно формулам (1.14) и (1.20) получим

Найдем натяжение нити. Пользуясь равенствами (1.4), (1.18) и (1.11), получим

Если учесть теперь формулу (1.14) и уравнение (1.12), то получим следующее выражение для натяжения параболической нити в любой ее точке:

В точках закрепления Поэтому

Дадим две оценки для параболических нитей с малыми стрелками, граничные точки которых находятся на одном уровне. Из формул (1.21), (1.22) и (1.11) найдем

Если (такую стрелку принято считать относительно большой), то длина нити будет превосходить пролет I на 2,7%, а максимальное натяжение превышает его горизонтальную составляющую на 8%. Для стрелы эти числа соответственно составляют 0,11% и 0,32%.

Пример 1. Определить основные параметры нити при следующих условиях

В данном примере и поэтому стрелу провисания можно считать малой. Найдем сначала параметр Исключив из равенств (1.14) и (1.16) параметр а, получим

Отсюда

(при задании стрелы провисания вершина нити С лежит между граничными точками перед радикалом нужно брать знак минус).

Подставляя заданные числа, получим Теперь, по формулам (1.14), (1.20), (1.11) и (1.23) последовательно найдем:

Если при тех же и опоры находятся на одном уровне а стрела провисания то будем иметь:

Из этих примеров видно, что длина нити ненамного превышает величину пролета I (во втором примере всего на 0,2 м), а максимальное натяжение нити Та несущественно превышает горизонтальную составляющую (во втором примере на

Пример 2. Сравним результаты вычислений по точным формулам главы II и приближенным формулам этого параграфа.

Пусть Формулы § 2.1 дают По приближенным формулам § 3.1

получим Как видно, точность приближенных формул вполне удовлетворительна (исходные данные нам известны обычно с меньшей точностью). Заметим, что в данном примере Если стрела провисания будет составлять меньшую долю от то погрешность вычисления будет еще меньше.