§ 10.4. Колебания нерастяжимой цепной линии

Для составления дифференциальных уравнений колебаний систем с распределенной массой, в частности колебаний нити, с большей эффективностью используются вариационные методы. Эти методы не всегда являются самыми простыми, но они обладают свойством универсальности. Поэтому мы считаем полезным продемонстрировать их на примере вывода дифференциальных уравнений колебаний цепной линии.

Напомним основные определения и принцип Гамильтона — Остроградского (см. [3, 12]). Рассмотрим систему с идеальными и голономными связями, имеющую степеней свободы. Пусть при заданных начальных условиях

обобщенные координаты изменяются по закону

Говорят, что совокупность функций (4.1) определяет истинный путь системы. Дадим каждой координате приращение где вариации являются произвольными малыми дифференцируемыми функциями времени, допускаемыми связями. Функции

определяют окольный путь.

Составим функцию Лагранжа (кинетический потенциал) — разность кинетической и потенциальной энергий:

Вариация функции определяется следующим образом:

Из всей совокупности мыслимых окольных путей выделим такие, которые в два фиксированных, но произвольно выбираемых момента времени совпадают с истинным путем, так что

Действием Гамильтону называется величина, определяемая равенством

Говорят, что действие по Гамильтону имеет стационарное значение, если его первая вариация равна нулю:

Принцип Гамильтона — Остроградского формулируется следующим образом: действие по Гамильтону имеет

стационарное значение на истинном пути системы, если к сравнению ним привлекается многообразие окольных путей, удовлетворяющих условию (4.4). Доказывается, что из этого принципа вытекают уравнения движения системы (например, уравнения Лагранжа второго рода) и, наоборот, из уравнений движения вытекает равенство (4.6).

Напомним также, что при выводе дифференциальных уравнений движения применяется правило

означающее, что операции варьирования и дифференцирования переставимы (это правило доказывается в курсах аналитической механики и вариационного исчисления).

Применим принцип Гамильтона — Остроградского для вывода дифференциальных уравнений малых колебаний нерастяжимой цепной линии. Покажем прежде всего, как с помощью этого принципа получается уравнение равновесия цепной линии. Потенциальная энергия силы тяжести, отнесенная к единице длины нити, равна (см. формулу (2.1.15)), поэтому потенциальная энергия всей нити будет

Здесь — абсциссы точек закрепления (не внося, надеясь, путаницы, мы сохранили для потенциальной энергии всей нити символ которым в § 1.4 обозначали потенциальную энергию, отнесенную к единице длины нити).

Так как при равновесии кинетическая энергия равна нулю, то функция Лагранжа (4.3) принимает вид

а интеграл действия вырождается в Следовательно, в положение равновесия вариация должна равняться

нулю. Имеем

Выделим второе слагаемое, обозначим его через и применим к нему правило (4.7):

или, интегрируя по частям, в точках закрепления

В точках закрепления

и первое слагаемое обрагцается в нуль. Теперь равенство (4.8) принимает вид

Так как вариация произвольна, то функция, стоящая под знаком интеграла, должна равняться нулю

Это уравнение можно переписать следующим образом (справедливость преобразавания можно проверить непосредственным дифференцированием):

Отсюда

где а — постоянная интегрирования.

Решая относительно и разделяя переменные, получим

или, интегрируя и полагая, что при (см. формулу приложения 1),

Рис. 10.7.

Уравнение (4.10) определяет цепную линию, вершина которой отстоит от начала координат на величину а (рис. 10.7). Если ввести в рассмотрение угол а между касательной к нити в положении равновесия и осью х, то будут справедливы формулы (см. § 1.2)

где радиус кривизны цепной линии.

Переходим к составлению дифференциальных уравнений колебаний цепной линии. Обозначим через радиусы-векторы точки нити в равновесном и в смещенном положениях соответственно. Тогда будем иметь

где проекции вектора перемещения на оси естественного трехгранника (бинормаль направленная на читателя, на рис. 10.7 не показана). Эти проекции считаются величинами первого порядка малости; они зависят от времени и выбранной точки т. е. от дуговой координаты Орты строятся на нити, находящейся в покое, и поэтому от времени они не зависят.

Продифференцируем равенство (4.12) по дуге 5, учитывая, что нить нерастяжима:

Для плоской нити (формулы Фрепе); кроме того, Следовательно,

Модуль левой части равен единице, поэтому

Раскрывая скобки и группируя члены, найдем

Сохраняя величины первого порядка малости, получим

Разность имеет второй, а ее квадрат — четвертый порядок малости. На этом основании с точностью до членов второго порядка малости будем иметь

Перейдем к новой независимой переменной а. Пользуясь оператором

получим для первого порядка малости

для второго порядка малости

Обозначим ординату точки нити в отклоненном состоянии через Тогда

где у — ордината той же точки цепной линии при ее равновесии. Поэтому потенциальная энергия нити при ее колебании будет равна

где — значение потенциальной энергии в положении равновесия, значения угла а в точках закрепления. Внеся вместо ее значение из (4.15), получим

Согласно общей теории малых колебаний первое слагаемое, содержащее отклонения в первой степени, должно равняться нулю (см. например, [4], том 2, § 20.7). Это можно проверить и непосредственно.

Действительно, пользуясь равенствами (4.11), будем иметь

Следовательно,

так как в точках закрепления при любом Таким образом,

Это равенство показывает, что в положении равновесия потенциальная энергия имеет минимум. Кинетическая энергия колеблющейся нити равна

откуда, учитывая первое равенство (4.14) и что получим с точностью до величин высшего порядка малости

Для дальнейшего упрощения целесообразно перейти к новым безразмерным независимым переменным по формулам

при этом частные производные по будем обозначать точкой, а по - штрихом. Имеем (см. (4.19) и

Пользуясь этими равенствами, преобразуем выражения для кинетической и потенциальной энергий

Составим теперь кинетический потенциал а затем интеграл действия по Гамильтону (4.5), отбросив при этом несущественную постоянную :

Согласно принципу Гамильтона — Остроградского вариация этого интеграла должна равняться нулю. Так как проведение полных преобразований, связанных с вычислением , занимает много места, то мы ограничимся вариацией только одного второго слагаемого, которое обозначим через I (остальные вариации вычисляются

аналогично). Имеем

или, применяя к дважды правило (4.7) и меняя порядок интегрирования,

Интегрируя по переменной по частям, получим

в соответствии с общей теорией при всех I (см. (4.4)). Поэтому, отбрасывая первое слагаемое и снова меняя порядок интегрирования, найдем

Интегрируя частям теперь по будем иметь

В точках закрепления при всех Итак,

Если проделать аналогичные операции с остальными слагаемыми интеграла действия (4.20), то получим в

зультате следующее уравнение:

Так как отклонения и независимы, а их вариации рассматриваемые как функции независимы и произвольны, то последнее равенство возможно только в том случае, если множители при будут равны нулю. Это дает нам два дифференциальных уравнения в частных производных:

В точках закрепления перемещения равны нулю, поэтому искомые функции и удовлетворяют следующим граничным условиям:

Кроме того, должны быть заданы начальные условия, но они имеют меньшее значение, и мы не останавливаемся на этом (в практических задачах, как уже отмечалось, наибольшее значение имеют частоты и формы колебаний — величины, не зависящие от начальных условий).

Решение уравнений (4.21) и (4.22) ищется в следующей форме:

Отсюда находим

где . Ацадощчтае выражеция получаем для

производных После подстановки в (4.21) и (4.22), сокращения на общий множитель и группировки членов получим два обыкновенных линейных однородных дифференциальных уравнения с переменными коэффициентами

Первое из этих уравнений удовлетворяет четырем граничным условиям

а второе — двум условиям

Эти уравнения решаются на ЭВМ — см. [29].