§ 5.4. Задача о равновесии троса, удерживающего неукрепленное тело в однородном потоке

Формулы §§ 5.1 и 5.2 позволяет решать различные задачи в достаточно общих предположениях, сделанных ранее. Здесь мы ограничимся рассмотрением равновесия троса, удерживающего тело в однородном потоке. Задачу

решим в упрощающих предположениях (более общие условия должны рассматриваться специалистами, работающими в соответствующей области), что дает нам возможность наглядно проследить за порядком построения решения. Упрощение будем вводить постепенно, показывая влияние каждого из них.

Для тросов, удерживающих аэростат или тело на течении, угол атаки х, как правило, достаточно велик. Поэтому касательная составляющая силы давления потока для таких тросов мала (см. рис. 5.2), и без большой погрешности ее можно считать равной нулю. Считая, что трос сплетен из большого числа прядей, мы пренебрежем также и боковой составляющей Таким образом, будем считать, что на трос действует только нормальная составляющая сила давления потока

Зависимость функции от угла будем определять формулой (1.3). Положив в равенстве (1.1) где получим (любой другой числовой множитель С не повлияет на построение решения)

Здесь

Далее, будем считать, что азимут направления скорости потока, т. е. угол одинаков но всей высоте подъема тела. Тогда, совместив ось х с плоскостью скорости потока получим

При будем иметь:

Пользуясь этими равенствами, приведем уравнение (2.7) к виду

Это уравнение имеет частное решение означающее, что линия равновесия троса располагается в

вертикалькой плоскости, содержащей скорость потока и нижнюю точку закрепления А — результат для троса с одним свободным концом физически очевидный. Таким образом, задача упрощается и сводится к интегрированию уравнений (2.5) и (2.6), которые при и дополнительном условии, что скорость потока горизонтальна приводятся к виду

Рассмотрим частные случаи.

а. Скорость потока и плотность среды на всех высотах одинакова, весом троса можно пренебречь Этот случай почти в чистом виде может реализоваться для троса, удерживающих тело на течении в воде. Действительно, плотность воды на всех глубинах практически одинакова, а современные тросы, сплетенные из искусственного волокна, имеют удельный вес почти равный (иногда даже меньший) удельного веса воды. Таким образом, сила тяжести троса в воде может равняться нулю и остается взять только среднее значение скорости течения.

В сделанных предположениях уравнения (4.4) принимают вид

где

Интегрируя второе уравнение (4.5), получим

Отсюда после очевидных преобразований найдем

Воспользуемся теперь первым третьим равенствами

(1.8) при Имеем

или, учитывая, что при

Первое уравнение определяет уравнение линии равновесия троса, а второе — его длину от нижней точки крепления троса А (рис. 5.8).

Пример. Трос, удельный вес материала которого равен удельному весу воды, удерживает на течении шаровое тело с чистой плавучестью Скорость течения диаметр троса расстояние по вертикали от точки крепления тела В до дна Определить основные параметры троса.

Рис. 5.8.

Имеем: плотность воды следовательно,

Для условий задачи были найдены следующне граничные условия (см.

Пользуясь равенствами (4.6) и (4.7), вычислим значения параметра к и постоянной интегрирования

Расстояние I по горизонтали от якоря А до точки В тела (рис. 5.8) и длину растянутого троса найдем из формул (4.9) и (4.10) при

Согласно первому равенству (4.5) натяжение троса в сделанных предположениях одинаково во всех точках. Поэтому растяжение троса найдем из равенства (1.1.3). Для растяжимого по закону Гука троса будем иметь (см. (1.1.6))

Отсюда при

где удельное относительное удлинение нити, длина нити до растяжения, длина растянутой нити.

б. Скорость потока и плотность среды на всех высотах одинакова, весом троса пренебречь нельзя. В сделанных предположениях Уравнения (4.4) принимают вид

Дальнейший ход решения зависит от свойств нити. Рассмотрим сначала нерастяжимую нить, когда (см. [10]). Из первого уравнения находим

где

Внося значение из (4.12) во второе уравнепие (4.11) и разделяя переменные, получим

Положив

последовательно найдем

Интегрируя это равенство, получим

отсюда

Из этого равенства найдем дифференциал

Теперь абсциссу х и длину дуги найдем из первого и третьего равенств (1.8) при

Постоянная интегрирования С определяется из условия

Следовательно,

Порядок вычисления очевиден. По известным значениям и из равенств (4.13) и (4.20) находим Зная из равенства (4.12) находим при натяжение в точке закрепления А, Угол 0а определится из (4.16) при Горизонтальное смещение I и длина нити найдутся из (4.17) и (4.18) при вычислении интегралов от до 0в. Меняя в этих же пределах угол можно по формулам (4.16) и (4.17) вычислить соответствующие значения по точкам построить кривую равновесия.

Для растяжимой нити нужно в уравнениях (4.11) заменить на Первое уравнение дает интеграл натяжения (2.10), а второе уравнение после исключения из

него можно проинтегрировать на ЭВМ (мы не останавливаемся на этом более подробно).

Пример. Скорость ветра на высоте равна а на земле — Вес погонного метра троса его диаметр Определить снос аэростата по горизонтали необходимую для этого длину троса и его натяжение если аэростат объемом требуется поднять на высоту Вес аэростата угол атаки равен 10°, аэростат заполнен на земле водородом на 90% и его полное выполнение произошло на высоте Предполагается, что скорость ветра изменяется по высоте равномерно, атмосфера считается стандартной, растяжением троса, касательной и боковой составляющими силы давления ветра пренебречь.

В условиях задачи натяжение и угол в верхней точке крепления троса к аэростату равны (см. пример на стр. 115 и равенства

Пользуясь интегралом натяжения (4.12), найдем постоянную а затем натяжение троса в нижней точке А. Имеем

Дальнейшее решение проведем двумя методами. 1. Пренебрежем изменениями плотности воздуха и скорости ветра и возьмем их значения на средней высоте (см. формулу (3.7) и условия задачи):

Считая эти величины постоянными, воспользуемся формулами (1.1) и При будем иметь 2

Из равенства (4.20) найдем

Угол определим из равенства (4.16) при Имеем

Подставляя сюда значения и решая полученное равенство относительно , получим

Горизонтальный снос I аэростата и длину троса найдем из равенств (4.17) и (4.18):

Вычисления на ЭВМ дали следующие результаты:

Таким образом, при усредненных значениях плотности воздуха и скорости ветра для подъема аэростата на высоту требуется трос длиной при этом аэростат отклонится по горизойтали от нижней точки подвеса на расстояние

Рис. 5.9.

2. Решим эту же задачу, не прибегая к осреднению. Для этого изменим систему координат, поместив ее начало в точку В и направив ось вертикально вниз, а ось х влево. При этом дифференциальные уравнения (4.4) и (1.7) примут вид

Здесь

где все постоянные имеют прежние значения.

Уравнения (4.24) были проинтегрированы по стандартной программе на ЭВМ от до при начальных условиях

При небольшом шаге интегрирования, что обеспечило большую точность решения, получены следующие результаты:

На рис. 5.9 в старых осях по точкам построена кривая равновесия троса (промежуточные значения координаты х определялись при интегрировании уравнений (4.24)).

Сравнивая полученный ответ с (4.23), следует признать, что оба метода дают практически одинаковые результаты (исходные данные известны с меньшей точностью), и, следовательно, можно пользоваться более простым методом осредненных коэффициентов.