§ 2.2. Неоднородная цепная линия

В приложениях иногда встречаются неоднородные цепные линии, когда сила тяжести, отнесенная к единице длины нити, зависит от положения точки на нити. В этом случае будем иметь

где заданная функция дуговой координаты 5, которую будем отсчитывать от нижней точки нити О (рис. 2.2). Относительно функции будем предполагать, что она интегрируема, в частности она может быть кусочно-непрерывна (нить составлена из нескольких различных частей, каждая из которых однородна).

Для решения задачи воспользуемся дифференциальными уравнениями равновесия нити в канонической форме (1.6.17) и учтем при этом, что

В нашем случае Из последних двух уравнений (2.2) найдем

Постоянная имеет прежний смысл — она равна горизонтальной составляющей натяжения нити, а постоянная так как в точке О касательная к нити параллельна горизонтальной оси

Внесем значения первые два уравнения (2.2) и проинтегрируем их от О до учтя, что при

Мы получили уравнения равновесия неоднородной цепной линии в параметрической форме, в которых роль параметра играет дуговая координата (читатель без труда может доказать, что при после исключения параметра получится обычное уравнение цепной линии (1.7)).

Натяжение нити найдем из формулы (1.6.16)

Положение вершины О (начала координат) относительно граничных точек и остальные параметры нити определяются обычным путем из граничных условий.