ГЛАВА V. РАВНОВЕСИЕ ТЯЖЕЛЫХ НИТЕЙ, НАХОДЯЩИХСЯ В УСТАНОВИВШЕМСЯ ПОТОКЕ

§ 5.1. Силы, действующие на нить

В практических задачах часто необходимо учесть влияние на тяжелую нить (трос) силы давления ветра или течения жидкости. Анализом таких задач занимались академики А. Н. Крылов, Н. Е. Кочин и др. (см. библиографию в [1, 8]).

Будем считать нить однородной и растяжимой. Обозначим через силу тяжести, отнесенную к единице длины растянутой нити. Возьмем на нити произвольную точку обозначим через единичный касательный вектор к кривой равновесия и через вектор скорости набегающего потока в этой точке. Пусть означает отнесенную к единице длины силу давления потока на нить в точке Испытания, проведенные в аэродинамических лабораториях, дали следующие результаты.

1. Модуль силы давления потока пропорционален плотности обтекающей среды квадрату скорости и диаметру нити кроме того, модуль силы давления зависит от угла атаки между направлениями касательной и скоростью потока в точке Если обозначить коэффициент пропорциональности, не зависящий от угла атаки, через X, то будем иметь

где С — численный коэффициент, характеризующий данный трос и среду потока. Этой формулой можно пользоваться в известных пределах скорости и, при которых нет срыва и не возникают вихри Кармана.

2. Силу давления потока на нить можно разложить по трем взаимно перпендикулярным направлениям

или

Вектор направлен по нормали к нити и лежит в плоскости векторов (в общем случае он не совпадает с главной нормалью нити вектор перпендикулярен векторам тили определяется равенством Функции зависят от угла атаки их графики, построенные по результатам испытаний, проведенных в аэродинамической лаборатории НИИМ ЛГУ (данные других лабораторий менее подробны и мы их не приводим), изображены на рис. 5.1, 5.2 и 5.3 (все графики с точностью до обозначений заимствованы нами из книги Н. И. Алексеева

Рис. 5.1.

Рис. 5.2.

Прежде чем перейти к определению функций сделаем два замечания.

1. Силу давления разлагают часто по трем координатным осям, причем одну из осей, например ось х, совмещают с направлением скорости потока (в [11 приведены графики функций и Такое разложение

можно применять для потоков, направления скоростей которых во всех точках одинаково. В тех случаях, когда поле скоростей неоднородно по направлению, разложение силы давления потока по неподвижным координатным осям лучше заменить на разложение по ортам

2. Если поменять местами движения нити и среды и считать, что последняя неподвижна, а нить движется со скоростью, равной скорости потока, в противоположную сторону, то сила сопротивления среды движению нити будет равна силе давления движущегося потока на неподвижную нить.

Рис. 5.3.

Дадим теперь аналитическое определение функции По Н. Е. Кочину [8] а А. Н. Крылов [10] считал, что (Кочин ссылается на испытания, но результаты их не приводит, Крылов приводит формулу для без всяких пояснений). В связи с этим установленный экспериментально график функции был аппроксимирован нами следующей функцией:

Методом наименьших квадратов по девяти точкам было получено: а (большую точность из графика, помещенного в получить нельзя). В соответствии с этим последняя формула принимает вид

На рис. 5.1 точками показаны значения функции вычисленные по формуле (1.3). Принимая во внимание эти результаты и учитывая, что сведения о скорости потока известны обычно с небольшой точностью, следует признать, что формула (1.3), которой пользовался еще Крылов, достаточно хорошо отображает значение функции

Составляющую можно разложить по направлениям Имеем (рис. 5.4)

где единичный вектор скорости

Две другие составляющие определены равенствами

Направление составляющей (знак во втором равенстве зависит от направления крутки прядей троса. При большом числе прядей или для сплетенных, а не скрученных тросов, а также для цепей составляющая практически равна нулю.

Сопоставляя графики функций и (боковую составляющую как правило, игнорируют), видим, что основная составляющая силы давления набегающего потока на нить находится в плоскости векторов и направлена по нормали к нити. Касательная составляющая при больших углах атаки мала по сравнению с нормальной составляющей и ее следует учитывать только при малых углах Крылов и . Кочин даже не упоминают о существовании касательной составляющей давления). При нормальная составляющая давления обращается в нуль, а касательная составляющая представляет обычную силу трения. В общей постановке задачи мы будем учитывать все три составляющие силы давления потока на нить.

Рис. 5.4.

Задачу о равновесии будем решать в предположении, что нить находится в установившейся потоке, скорость которого V и плотность среды зависят только от вертикальной координаты рассматриваемой точки Обе функции и считаются заданными (из С можно определить из гидрологических или метеорологических наблюдений). Таким образом, предполагается, что коэффициент является известной функцией аппликаты

Для тросов с небольшой разностью высот отдельных точек (антенн, линий электропередач, не глубоководных тралов и т. п.) можно считать, что Отметим здесь же, что, считая поток установившимся, т. е. не зависящим от времени мы не предполагаем, что он горизонтален и однороден — в потоке могут быть восходящие и нисходяпщие течения с переменными по высоте модулем и направлением скорости

Совместим начало координат с точкой крепления троса и направим ось z вертикально вверх, а оси х и у горизонтально. Следуя . Кочину 181, введем два угла и определяющих направление касательной. Пользуясь рис. 5.5, найдем проекции единичного касательного вектора параллельны осям х, у, z соответственно):

Преимупцество введения углов и состоит, в частности, в том, что для трех параметров, и (в отличие от трех декартовых координат уравнение связи (1.2.7), согласно (1.6), выполняется автоматически.

Так как модуль и направление силы давления потока явно зависят от координаты z (через параметр к и скорость то целесообразно в качестве независимой переменной выбрать не дуговую координату 5, а аппликату Если углы в и будут найдены как функции z, то координаты длина дуги определяется простыми квадратурами. Действительно, пользуясь равенствами (1.6), найдем

отсюда

Пусть в точке нити направление скорости потока определяется углами и Q (рис. 5.6), причем по условию они являются известными функциями

Рис. 5.5.

Рис. 5.6.

Тогда проекции единичного вектора скорости будут

Угол X между вектором скорости и касательной к нити найдем из равенства: Выражая скалярное произведение векторов и через их проекции, получим после очевидных преобразований

Это равенство определяет угол х как функцию координаты (через ) и углов

Пользуясь равенствами (1.4), (1.6) и (1.9), найдем проекции составляющей

Проекции касательной составляющей силы давления потока найдутся из формул (1.5) и (1.6):

Наконец, из второго равенства (1.5) найдем проекции составляющей

Если в эти равенства подставить значения проекций векторов и из (1.6) и (1.9), то проекции составляющей (так же как и будут известными функциями углов 9, и координаты

Равнодействующая всех сил, действующих на нить, складывается из силы тяжести и силы давления потока на нить. Первая сила является массовой, вторая поверхностной. Проекции массовой силы тяжести определяются равенствами

Если нить нерастяжима, то для растяжимой нити

где до — вес единицы длины нити до растяжения. Проекции силы складываются из соответствующих проекций составляющих сил согласно формулам