§ 1.6. Канонические уравнения равновесия нити

Во многих случаях решение дифференциальных уравнений равновесия нити нельзя довести до квадратур и приходится прибегать к численным методам интегрирования на ЭВМ. Для этих целей ранее полученные уравнения недостаточно удобны, так как они содержат производные второго порядка. Если же ввести новые переменные, обозначив через ), то полученная в результате этого система уравнений первого порядка не будет симметрична и вычисления существенно усложнятся. Большими удобствами для численного (иногда и не только численного) интегрирования дифференциальных уравнений равновесия нити представляют канонические уравнения в форме Гамильтона. Для их вывода введем в рассмотрение новую функцию

Эта функция зависит явно от причем натяжение рассматривается как функция дуговой координаты

Обозначим через частные производные от по (в динамике соответствующие величины называются обобщенными импульсами)

Выразим из равенств (6.2) производные q (они входят в правые части линейно) через

Составим теперь функцию но следующему правилу:

Внесем в эту функцию вместо производных их значения из (6.3), считая в дальнейшем, что зависит от Вычислим от функции вариацию, считая неизменным. Имеем

Варьируя теперь (6.4), получим

или, учитывая (6.2) и сокращая первый и последние слагаемые,

Пользуясь равенством (6.1), запишем уравнения (5.17) в следующей форме:

Преобразуя первое слагаемое с помощью равенства (6.2), найдем

Теперь соотношение (6.6) примет вид

Сравнивая коэффициенты при вариациях в (6.5) и (6.8), получим шесть уравнений равновесия нити в форме Гамильтона (аналогичные уравнения получены Гамильтоном в динамике)

Для растяжимых нитей эта форма уравнений сохраняется, нужно только массовые силы Р, входящие в , заменить на их значение по формулам (1.15). Уравнения равновесия нити в форме Гамильтона имеют симметричную форму и они решены относительно производных.

Если действующие силы потенциальны, то введем новую функцию

Учитывая теперь равенство (5.20), приведем уравнения (6.9) к канонической форме

Для полного интегрирования уравнений (6.9) или (6.11) к ним нужно присоединить уравнение связи (5.9) и граничные условия.

Упростим выражение для функции Для этого внесем в (6.4) значение из (6.2). Имеем

Пользуясь равенством (5.8), последовательно получим

Таким образом, функция совпадает с функцией если в последней выразить производные через импульсы

Перед тем как перейти к примерам, отметим, что все выводы получены здесь для любых криволинейных координат.

Пример. Уравнения равновесия нити в форме Гамильтона в декартовой системе координат. Для прямоугольной декартовой системы координат имеем

Пользуясь (6.1) и (6.2), найдем

Сравнивая эти выражения с равенствами (2.4), видим, что величины равны проекциям натяжения нити на соответствующие оси координат х, у, z.

Из равенств (6.13) найдем и внесем их в функцию Тогда получим

Уравнения равновесия (6.9) примут вид

Из равенств (6.13) и последнего уравнения (6.15) найдем натяжение нити

Если внести это значение для в первые три уравнения (6.15), то получим следующие дифференциальные уравнения равновесия нити в форме Гамильтона:

Впервые уравнения (6.17) были получены акад. В. Г. Ишменецким [6].