§ 6.5. Влияние сил внутреннего трения

Жидкостная теория пучка не учитывает силы внутреннего трения, а также силы трения между средой пучка и его обвязкой (оболочкой). В этих предположениях было показано, что поперечное сечение пучка не может принять форму правильного круга (см. замечание к формуле (2.36)). Между тем практика показывает, что сформированные пучки могут иметь правильное или почти правильное круговое поперечное сечение. Покажем, что это может быть объяснено силами внутреннего трения [14].

Пренебрегая по-прежнему трением между средой пучка и обвязкой и весом последней, мы снова получим, что сила давления пучка на обвязку направлена по нормали, а натяжение в обвязке одинаково во всех ее точках (см. § 6.1). Если при отсутствии внутреннего трения сила давления среды пучка на надводную часть обвязки определялась формулой (2.1), то при наличии внутреннего трения эта сила (обозначим ее через уменьшится, т. е.

Естественно предположить, что силу можно представить следующей математической моделью:

где — некоторый положительный коэффициент, удовлетворяющий условию

(аналогичный коэффициент вводится для нижней подводной части обвязки).

Условие равновесия всей обвязки как единого целого требует, чтобы коэффициенты были переменными; легко показать (мы не останавливаемся на этом), что при это условие нарушается. Конечно, коэффициенты зависят от законов внутреннего трения, материала пучка, его формы и т. п. Не уточняя эту зависимость отметим только, что в каждой точке обвязки

будет свое значение коэффициента X (это выражено нами функциональной зависимостью

где у — ордината рассматриваемой точки).

В сделанных предположениях формула (2.3) принимает вид

Интегрируя это равенство и учитывая, что при изменении угла а от 0 до ордината у будет меняться от О до получим

Так как множитель при в подынтегральном выражении положителен, то, применяя вторую теорему о среднем, будем иметь (из условия не следует, конечно, что этот коэффициент нельзя осреднять в интегральном смысле)

или, интегрируя,

В этом равенстве Хравно значению функции в некоторой средней точке интервала

Аналогичное выражение получим для подводной пучка

Сложим равенства (5.4) и (5.5) и учтем, что

Имеем

отсюда

Прежде всего отметим, что при отсутствии внутреннего трения эта формула переходит в (2.36). Далее, если внутреннее трение бесконечно велико (пучок — твердое тело), то и натяжение в обвязке будет равно нулю — вывод, соответствующий физической сущности явления. Если удельный вес пучка равен удельному весу воды то и из закона Архимеда следует, что (см. п. 3, стр. 132); отсюда вывод также физически очевидный. Наконец, из равенства (5.6) следует, что при круговой форме поперечного сечения пучка натяжение в обвязке не обращается в бесконечность и, следовательно, такая форма может быть реализована за счет сил внутреннего трения. Действительно, при круговой форме пучка и формула (5.6) принимает вид

Знаменатель этого выражения не может обратиться в нуль, так как следовательно,

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)