§ 1.7. Связь задачи о форме равновесия нити с задачей о движении материальной точки

Сравним основное дифференциальное уравнение равновесия нити (2.1)

С дифференциальным уравнением движения материальной точки

Легко видеть, что оба уравнения имеют одинаковую аналитическую структуру, причем натяжению направленному по касательной к кривой равновесия, в первом уравнении отвечает скоростью, направленная по касательной к траектории точки, во втором уравнении, силе отнесенной к единице длины нити, уравнения (7.1) отвечает сила отнесенная к единице массы точки, уравнения (7.2). Этой аналогией объясняется сходство между другими формами уравнений равновесия нити и уравнений движения материальной точки. Так, например, уравнениям равновесия нити в естественных осях, в обобщенных (криволинейных) координатах, в канонической форме Гамильтона отвечают соответствующие уравнения движения материальной точки. Можно привести другие формы уравнений равновесия нити, имеющие соответствующие аналоги в динамике, например уравнение в частных производных в форме Гамильтона — Остроградского (впервые оно было получено акад. В. Г. Ишменецким используются также вариационные принципы (см. § 10.4) и т. п. Наконец, есть много общего и между интегралом натяжения нити и интегралом энергии материальной точки.

Основное различие уравнений (7.1) и (7.2) состоит в независимой переменной: в дифференциальном уравнении равновесия нити (7.1) это дуговая координата а в дифференциальном уравнении движения материальной точки (7.2) это время Однако это различие можно сгладить и провести более глубокую аналогию. В самом деле, рассмотрим для простоты случай потенциальных сил, когда Тогда уравнение равновесия нити (7.1)

примет вид

Умножим обе части этого уравнения на модуль натяжения

и преобразуем с помощью интеграла натяжения второе слагаемое. Имеем

Теперь уравнение равновесия нити примет вид

Это векторное уравнение или эквивалентные ему три уравнения в проекциях на оси координат вместе с уравнением связи (2.7) определяют координаты х, у, z кривой равновесия нити и натяжение как функцию параметра

Перейдем к рассмотрению дифференциального уравнения движения материальной точки, на которую действует консервативная сила с потенциальной энергией

Уравнение движения имеет вид

где масса точки, а и — ее скорость.

Ускорение можно преобразовать следующим образом:

Внося это значение для ускорения в уравнение (7.2), получим

Это векторное уравнение или эквивалентные ему три уравнения в проекциях на оси неподвижной системы координат вместе с уравнением связи, которое в данном случае имеет тот же вид (2.7), определяют координаты траектории движения точки и скорость как функцию параметра

Сравнение уравнений (7.3) и (7.4) показывает, что если нить находится в равновесии под действием отнесенной к единице длины нити силы с потенциальной энергией то линия равновесия нити будет совпадать с траекторией движения материальной точки, к которой приложена консервативная сила с потенциальной энергией (конечно, при равных соответствующих граничных и начальных условиях).