§ 1.5. Уравнения равновесия нити в криволинейных (обобщенных) координатах

Напомним основные определения (см., например, Любые три параметра однозначно определяющие положение точки в пространстве, называются криволинейными или обобщенными координатами. Так как положение точки определяется также радиусом-вектором то будем иметь

или в скалярной форме

Координатная линия представляет годограф радиуса-вектора при изменении только одной координаты и неизменном значении двух других координат. Если изменять сразу две координаты, а третью оставить без изменения, то получим координатную поверхность. Через каждую точку пространства можно провести три координатных линии и три координатных поверхности. Касательные к координатным линиям в точке направленные в сторону возрастания соответствующих координат, называются координатными осями (рис. 1.9). Направления этих осей задаются ортами которые вычисляются по формулам

Рис. 1.9.

где коэффициенты Ляме определены равенствами

С помощью формулы (5.2) легко находятся косинусы углов между ортами криволинейной координатной системы и осями декартовых координат. Например,

Таким образом, получим таблицу косинусов

Если в каждой точке пространства координатные оси взаимно перпендикулярны, то такая система криволинейных координат называется ортогональной. Условие ортогональности согласно таблице (5.4), имеет вид

причем эти условия должны выполняться для всех для которых Построим в данной точке нити единичный касательный вектор По правилам дифференцирования сложных функций будем иметь

Введем функцию

Функция I представляет квадратичную форму производных и поэтому, согласно соответствующей теореме

Эйлера, будем иметь

Дифференциал дуги в криволинейной системе координат непосредственно получается из равенства (5.7), если только учесть, что

Для ортогональной системы координат:

Установим два тождества, первое из которых получается, если продифференцировать обе части равенства (5.6) по

Продифференцируем теперь обе части равенства (5.6) частным образом по изменив предварительно индекс суммирования с на

Пользуясь правилом дифференцирования сложных функций, будем иметь

Сравнивая последние два равенства, получим второе тождество

Перейдем теперь к выводу дифференциальных уравнений равновесия нити в криволинейных (обобщенных) координатах. Для этого умножим обе части уравнения (2.1) скалярно на

Имеем очевидное равенство

Пользуясь тождествами (5.12), (5.13) и равенством (1.1), получим

Скалярные произведения, стоящие в правой части, можно представить следующим образом (см.

Тогда получим

Второе слагаемое в уравнении (5.14) можно записать так (см. (5.2)):

где проекция силы на координатную ось В дальнейшем величину будем называть обобщенной силощ соответствующей обобщенной координате и отнесенной к единице длины нити.

Подставив равенства (5.15) и (5.16) в уравнения (5.14), получим

Это и есть уравнения равновесия нити в криволинейных (обобщенных) координатах. Их можно назвать уравнениями равновесия нити в форме Лагранжа (но аналогии с соответствующими уравнениями Лагранжа в динамике).

Обобщенные силы вычисляются по одной из следующих формул:

Формула (5.19) непосредственно вытекает из равенства (5.18) и таблицы косинусов (5.4), а формула (5.20) следует из (5.19) и равенств (4.2).

Заметим, что размерность обобщенной силы, отнесенной к единице длины нити, зависит от размерности соответствующей обобщенной координаты.

Рассмотрим примеры.

Пример 1. Уравнения равновесия нити в цилиндрической системе координат. В цилиндрических координатах положение точки определяется радиусом углом и аппликатой На рис. 1.10 показаны эти координаты, координатные линии и поверхности. Пользуясь рисунком, получим

По формулам (5.3) найдем коэффициенты Ляме

Рис. 1.10.

Цилиндрическая система координат ортогональна и, следовательно, согласно формулам (5.10) и (5.11), будем иметь

Пользуясь схемой (5.17) и равенством (5.18), получим дифференциальные уравнения равновесия нити в цилиндрической системе координат

где проекции силы на координатные оси соответственно. К этим уравнениям нужно присоединить уравнение связи (5.23).

Рис. 1.11.

Рис. 1.12.

Пример 2. Уравнения равновесия нити в полярной системе координат (рис. 1.11). Если нить плоская, то дифференциальные уравнения равновесия ее в полярных координатах получаются из уравнений (5.24) при Таким образом, в полярных координатах мы имеем первые два уравнения (5.24) и уравнение связи

Пример 3. Уравнения равновесия нити в сферической системе координат, В сферических координатах положение точки определяется полярным радиусом углом и углом (полюсный угол). На рис. 1.12 показаны значения этих величин, координатные линии и поверхности. Имеем

По формулам (5.3) найдем коэффициенты Ляме

Сферические координаты ортогональны, и, следовательно, согласно формулам (5.10) и (5.11), будем иметь

Пользуясь схемой и равенством (5.18), получим дифференциальные уравнения нити в сферических координатах

Здесь — проекция силы на координатные оси соответственно.

К уравнениям (5.30) нужно присоединить уравнение связи (5.29).