§ 4.3. Равновесие цепной линии равного сопротивления

Рассмотрим нерастяжимую нить равного сопротивления, находящуюся в равновесии под действием собственной силы тяжести (цепная линия равного сопротивления). Прежде всега отметим, что нас не будут интересовать нити с малой стрелой провисания, так как для таких нитей натяжение а следовательно, и нормальное напряжение однородных нитей мало изменяется по длине нити (см. соотношения (3.1.24)). Поэтому мы не будем пользоваться упрощениями, которые были введены в главе для исследования цепныг линий с малой стрелой провисания.

Рис. 4.2.

Сила тяжести отне сенная к единице длины нити, равна по модулю (см, (2.1)). Проекции этой силы на горизонтальную ось х и вертикальную ось у соответственно равны (рис. 4.2). Пользуясь первым уравнением (1.2.16) и равенством (1.1), получим

где площадь поперечного сечения в вершине нити О. Из (3.1) найдем

Внесем значение во второе уравнение (1.2.16) и воспользуемся (3.2). Имеем

Умножив обе части этого уравнения на и учтя

значение параметра к из (2.4), получим

или

Разделяя переменные и интегрируя, найдем

Так как при (в начале координат касательная параллельна оси то и, следовательно,

Интегрируя еще один раз и учитывая, что при получим

или

Это уравнение цепной линии равного сопротивления впервые было получено Кориолисом. Формально уравнение определяет бесчисленное множество тождественных (конгруэнтных) кривых, имеющих вертикальные асимптоты и лежащих в интервалах где Но реальная нить совпадает с отрезком одной ветви и рассматривать нужно только этот участок (рис. 4.3).

Для определения длины дуги воспользуемся последовательно равенствами (2.1.3) и (3.3)

или, интегрируя

Будем отсчитывать длину дуги от вершины нити О, Тогда при и, следовательно, Таким образом,

Отсюда (см. равенства (2.3.12) и

Рис. 4.3.

Теперь, пользуясь формулами (3.2), (3.5) и (3.7), найдем закон изменения площади поперечного сечения цепной линии равного сопротивления

Горизонтальную составляющую натяжения и само натяжение найдем из соотношений (3.1), (1.1) и (3.8)

Если задана длина нити и точки подвеса т. е. пролет I и превышение (рис. 4.2), то из граничных условий

и равенств (3.6) и (3.4) получим

где длины правой и левой частей нити соответственно. Зная из этих пяти уравнений можно найти Затем по найденному значению к и удельному весу материала нити по формуле (2.4) определится нормальное напряжение о, а по формуле (3.8) и выбранному значению можно построить цепную линию равного сопротивления, удовлетворяющую заданным граничным условиям. Можно, конечно, использовать и другие схемы расчета. Поясним изложенную здесь теорию расчетом стальной нити (цепи) глубоководного якоря.

Пример. Пусть судно, стоящее на якоре В (рис. 4.4), испытывает горизонтальное давление ветра, равное (скоростью течения пренебрегаем). Как уже отмечалось (см. стр. 53), эта внешняя информация определяется из аэродинамических характеристик судна и скорости ветра.

Рис. 4.4.

В положении равновесия сила будет уравновешена горизонтальной составляющей натяжения нити (цепи) Таким образом, в нашей задаче известна величина Задавшись нормальным напряжением и считая, что часть цепи лежит на дне, найдем из формулы Удельный вес стали в воде следовательно, В условиях задачи (величина нам не известная), а глубина моря в месте стоянки. Пусть Тогда из предпоследнего

уравнения (3.11) найдем

По таблицам косинусов находим отсюда Из первой формулы (3.11) найдем

Площадь поперечного сечения в верхней точке крепления нити (цепи) найдем по формуле (3.8)

Вычислим теперь натяжение нити (цепи) в верхней и нижней точках. Пользуясь формулами (3.9), получим

Несмотря на такой большой перепад в натяжении, построенная по закону (3.8) нить (цепь) будет иметь во всех поперечных сечениях одинаковое нормальное напряжение а.

Поставим следующую задачу: что произойдет, если скорость ветра изменится и на судно будет давить сила меньшая расчетной Сохранит ли нить, изготовленная по условиям задачи, свойство равного сопротивления? Для того чтобы ответить на этот вопрос, обратимся к уравнению Кориолиса (3.4). При выбранном значении нормального напряжения а и данном удельном весе материала параметр не зависит от других условий задачи и уравнение (3.4) определяет в промежутке единственную кривую с двумя вертикальными асимптотами (рис. 4.3). Из этого следует, что граничные точки нити равного сопротивления при заданных а и нельзя выбирать произвольно — они должны принадлежать графику функции (3.4). Поэтому при уменьшении скорости ветра расстояние при неизменном сократится и нить (цепь) глубоководного якоря потеряет свойство равного сопротивления. В частности, при безветрии цепь равного сопротивления должна рассчитываться не по закону (3.8), а по закону (2.5) (при сравнении формул нужно учесть, что в этих задачах отсчет длины дуги производится в противоположных направлениях)

Учитьпвая, что нити равного сопротивления не нашли широкого распространения, мы ограничимся изложенным здесь материалом.