ГЛАВА IX. КОНТУРНОЕ ДВИЖЕНИЕ НИТИ

§ 9.1. Основные определения и уравнения движения

Рассмотрим движущуюся нить, которая сохраняет все время форму некоторой неизменяемой линии Будем предполагать, что нить движется вдоль линии с заданной относительной скоростью а сама линия неподвижна или перемещается относительно инерциальной системы координат вообще говоря, произвольным образом. Такое движение называют контурным или установившимся движением нити.

Рис. 9.1.

Свяжем с линией координатную систему На рис. 9.1 изображена неподвижная относительно осей кривая и движущаяся вдоль нее нить (для большей наглядности эти две фактически сливающиеся линии изображены раздельно). Возьмем на нити произвольную

точку в данный момент времени с ней совпадает точка линии Соответствующие дуговые координаты обозначим через 5 и а; первая из них отсчитывается от подвижного начала принадлежащего нити (см. замечание к равенствам (8.1.1)), а вторая от неподвижной в системе точки

Угловая скорость о естественного трехгранника (рис. 8.2), связанного с нитью, складывается из угловых скоростей переносного и относительного движений нити:

В этом равенстве угловая скорость координатных осей а угловая скорость трехгранника (на рис. 9.1 он не показан) относительно координатной системы

Для вычисления относительной угловой скорости при контурном движении нити поступим следующим образом. Рассмотрим сначала действительное относительное перемещение нити, при котором координатная система. остается в покое. Пусть за время точка нити, совпадающая ранее с точкой линии переместилась вдоль на величину при этом трехгранник займет положение и изменит ориентацию на вектор малого поворота Теперь при фиксированном времени мысленно переместим точку линии в положение на величину Трехгранник займет при этом новое положение изменив ориентацию на вектор малого поворота Так как нить фактически совпадает с линией то будут совпадать точки и трехгранники и а также соответствующие векторы малых поворотов Пользуясь равенством (8.2.9) и учитывая, что последовательно получим

или, принимая во внимание (8.2.2),

где относительная скорость движения точки нити вдоль линии (формулу (1.1) можна получить другими методами — см., например, [4, 12]).

Вектор относительной скорости точки нити направлен по касательной к нити. Следовательно, его проекции и проекции вектора соответственно равны

Абсолютная скорость точки нити складывается из относительной и переносной скоростей:

Внесем это значение для скорости в первое равенство

При контурном движении нити, когда ее форма не изменяется, переносное движение представляет движение нити как твердого тела. Для такого движения формулы (8.2.11) сохраняют свою силу (см. замечание к следовательно, совокупность последних двух членов в (1.3) равна нулю. Кроме того, Поэтому равенство (1.3) принимает вид

этом учтено первое равенство (1.2).

Из (1.4) следует, что при контурном движении нерастяжимой нити все ее точки имеют в каждый данный момент одинаковую по модулю относительную скорость факт физически очевидный.

Перейдем к составлению дифференциального уравнения контурного движения нити. Полное ускорение точки нити складывается из относительного переносного и кориолисова ускорений:

Относительное ускорение представляет ускорение точки при ее движении вдоль остановленной линии элементарного курса кинематики известно, что в этом

случае проекции ускорения на оси естественного трехгранника определяются равенствами (их можно получить также из формул (8.2.18), если в правые части внести значения проекций векторов из

Отсюда

Внесем равенства (1.5) и (1.7) в дифференциальное уравнение движения нити (8.1.2):

Учтем теперь, что следовательно, с помощью первой формулы Фрепе (8.2.1) последнее уравнение можно привести к виду

или, принимая во внимание, что относительная скорость не зависит от (см. равенство (1.4)),

Объединяя первые два члена и снова учитывая первую формулу Фрепе, получим

где кажущееся натяжение определено равенством

Уравнение (1.8) является основным для контурного движения нити. Оно имеет форму уравнения равновесия (1.2.1), и его можно прочитать следующим образом: движущуюся вдоль перемещающейся неизменяемой линии нить можно рассматривать как находящуюсл в пвпое если действительное натяжение заменить на кажущееся

натяжение действующим на нить силам присоединить относительную касательную переносную и кориолисову силы инерции.

Прежде чем перейти к анализу уравнений (1.8), остановимся на некоторых общих вопросах. До сих пор мы рассматривали движение одной и той же точки нити Такой метод принадлежит, по-существу, Лагранжу, который в механике сплошной среды выделял частицу и в дальнейшем следил за ее движением. Эйлеру принадлежит другой метод, сущность которого состоит в следующем. В координатной системе (она может быть подвижной или неподвижной) выделяется точка определяемая в данной системе отсчета радиусом-вектором или координатами х, у, z, В каждый данный момент времени мимо этой точки проходит какая-то частица сплошной среды, имеющая скорость Эйлер предложил выражать скорость как функцию радиуса-вектора точки (или ее координат) и времени

Это равенство определяет поле скоростей, которое называется стационарным, если оно не зависит от времени явно, и нестационарным в противном случае. Линии, в каждой точке которых скорость в данный момент направлена по касательным к ним, называются линиями тока. Конечно, уравнения состояния и движения сплошной среды в трактовках Лагранжа и Эйлера отражают одни и те же физические законы, но они выражены через различные переменные.

Для нити метод Эйлера удобно применять при изучении движения гибких шлангов, в которых течет жидкость, контурном движении нити и др. В частности, для контурного движения нити на линии через каждую точку в данный момент времени проходит какая-то точка нити имеющая относительную скорость Таким образом, в обозначениях Эйлера имеем: Это равенство условно можно назвать одномерным полем скоростей, а линию линией тока.

Из вышеизложенного следует, что если в уравнении (1.8) дуговую координату нити заменить на а, то оно будет определять лицию вдоль которой может двигаться

нить. Условимся не делать непосредственной замены 5 на а и на основании сказанного будем в дальнейшем считать, что это уравнение определяет линию и кажугцееся натяжение причем криволинейную координату и радиус-вектор будем относить не к точкам нити, а к точкам линии, вдоль которой нить движется.

Рассмотрим уравнение (1.8) более подробно. В этом уравнении векторы переносного и кориолисова ускорений, а также касательное относительное ускорение заданные функции времени вектор определен равенством Совместно с уравнением связи (в координатной форме оно имеет вид уравнение (1.8) определяет радиус-вектор точек линии и кажупееся натяжение Так как уравнение (1.8) получено в предположении, что линия неподвижна в системе то его решение относительно радиуса-вектора не должно содержать время Легко видеть, что при не зависящей от времени силе для этого достаточно, чтобы были постоянными, в частности они могут равняться нулю. Действительно, если постоянны, то уравнение (1.8) не будет содержать время в качестве параметра и, следовательно, решение его не будет также зависеть от

Контурное движение нити возможно и при других более широких предположениях. Мы не будем останавливаться на анализе всех возможных случаев и в дальнейшем будем считать, что сила и ускорения от времени не зависят. Считая в дальнейшем, что это условие выполнено, заменим в уравнении (1.8) знак частной производной по на знак полной производной (все члены уравнения не зависят от

Для решения конкретных задач это уравнение целесообразно записать в проекциях на оси естественного

трехгранника, связанного с линией или на координатные оси В первом случае получим:

Во втором случае:

В следующих параграфах мы рассмотрим некоторые контурные движения нити.