§ 5.2. Дифференциальные уравнения равновесия нити

Для перехода от независимой переменной к аргументу воспользуемся третьей формулой (1.6) и очевидным равенством

Внесем в дифференциальные уравнения равновесия нити (1.2.5) значения производных из (1.6) и оператор (2.1). Тогда, учитывая равенство (1.15), получим

Эти три дифференциальных уравнения равновесия нити относительно трех неизвестных функций 0, и можно преобразовать к более удобной форме. Для этого запишем их сначала в следующем виде:

Умножим первое уравнение на второе на третье на и сложим все уравнения. Тогда после очевидных преобразований получим

Выражение в квадратных скобках равно нулю. Действительно,

Рассмотрим теперь члены, содержащие проекции силы Если учесть равенства (1.2), (1.12)-(1.14) и (1.6), то

после несложных преобразований получим

Внесем все полученные соотношения в уравнение (2.3) и решим его относительно производной:

(Это уравнение можно ролучить более простым способом, если использовать первое уравнение (1.3.3) и оператор (2.1)).

Преобразуем теперь третье уравнение (2.2). Имеем

Внесем сюда значение производной из (2.5) и решим полученное равенство относительно

Наконец, запишем первые два уравнения (2.2) в следующем виде:

Умножая первое равенство на второе на и складывая, получим

Уравнения (2.5), (2.6) и (2.7) эквивалентны уравнениям (2.2). Их преимущество состоит в том, что они, в отличие от уравнений (1.2.5), содержащих четыре неизвестных функции подчиненных одной нелинейной неголономной связи (1.2.7), решены относительно производных от неизвестных функций и

Уравнения (2.5) — (2.7) позволяют решать задачу в предположениях, когда сила давления потока имеет все три составляющие, плотность среды модуль и направление скорости потока зависят от высоты

рассматриваемой точки z, нить растяжима по любому закону линия равновесия двоякой кривизны. Конечно, для полного решения задачи нужно задать еще граничные условия (о них будет рассказано ниже), законы изменения плотности среды и скорости потока для растяжимых нитей силу тяжести отнесенную к единице длины нити, нужно определить формулой (1.16) и, наконец, угол атаки входящий в функции нужно выразить через углы по формуле (1.10). Естественно, что при этой функции заданные графически, целесообразно аппроксимировать соответствующими аналитическими выражениями. Довести решение этих уравнений до квадратур в общем случае нельзя, но реализовать численное решение на ЭВМ не представляет большого труда.

Рассмотрим несколько частных случаев, которые чаще всего встречаются в практических расчетах.

1. Большой угол атаки К этому случаю относятся тросы, удерживающие аэростат или плавающие на течении тела (причальный поплавок, измерительный прибор) и т. п. При большом угле атаки касательная составляющая силы давления потока мала по сравнению с нормальной составляющей (см. рис. 5.2), поэтому без большой погрешности можно считать, что В этом случае уравнение (2.5) принимает вид

Для нерастяжимой нити это дает интеграл натяжения

если же нить растяжима, то интеграл натяжения имеет вид

В частности, для растяжимой по закону Гука нити будем иметь (см. (1.4.10))

Отсутствие в интегралах силы давления потока не означает, конечно, что натяжение нити не

зависит от Действительно, закрепим нерастяжимую тяжелую нить в двух точках. При отсутствии ветра (течения) получится обычная цепная линия, для которой справедлив интеграл (2.9). Очевидно, что при появлении ветра (течения), сила давления которого перпендикулярна нити, линия равновесия, а вместе в ней и натяжение нити изменятся, но по-прежнему будет иметь место интеграл (2.9) (только постоянная интегрирования примет новое значение.

2. Скорость потока горизонтальна и неизменна по направлению: В этом случае целесообразно направить ось X параллельно скорости в результате чего получим (рис. 5.6): (этот случай рассматривается чаще всего). Равенство (1.10) примет простой вид

и, следовательно, угол не будет зависеть от аппликаты В частном случае плоской нити можно считать, что и тогда угол атаки х будет равен углу между касательной к нити и горизонтальной плоскостью, т. е.

3. Сила давления потока и его скорость не зависят явно от высоты, В практических задачах этому случаю отвечают нити (тросы) с небольшой разностью высот отдельных точек. По условию

При этих соотношениях правые части уравнений (2.6) и (2.7) не будут явно зависеть от Деля первое из этих уравнений на второе, получим

Таким образом, задача сводится к решению двух уравнений (2.5) и (2.15).

В заключение отметим, что поверхностная сила давления набегающего потока не зависит от массы троса. Если пренебречь изменением диаметра троса при его растяжении, то величина этой силы не будет зависеть от линейвой деформаций троса. Поэтому уравнения равновесия

тяжелого растянутого троса, находящегося под действием силы давления набегающего потока, отлитаются от уравнений равновесия нерастяжимого троса только тем, что в уравнениях (2.5) — (2.7) массовая сила тяжести заменяется на В тех случаях, когда изменение диаметра троса достаточно велико и его нужно учесть, следует воспользоваться равенством (1.1.8). Некоторые авторы допускают ошибку, применяя к силе давления потока равенство где сила, отнесенная к единице массы (см. замечание к формулам (1.2.19) и (1.2.20)).