Глава вторая. Основные уравнения квазистатической задачи термоупругости

§ 2.1. Общие замечания

В зависимости от условий теплообмена в постановку связанной задачи термоупругости (§ 1.6) можно внести упрощающие предположения.

При неравномерном нагреве, обусловленном внешним источником тепла, можно считать, что температурное поле не зависит от вызываемых им деформаций; тогда в уравнении теплопроводности (1.6.2) не учитывается член механической связи Ьсли же изменение температуры упругого тела вызывается не внешним источником тепла, а исключительно изменением его деформаций, то для изучения такого необратимого процесса, сопровождающегося термоупругим рассеянием энергии, в уравнении (1.6.2) следует учитывать член механической связи; при этом в связи с небольшими изменениями температуры, вызванными деформациями от внешних сил, можно не учитывать член в соотношениях (1.6.3). В том и другом случаях задача термоупругости становится несвязанной; поле деформаций определяется независимо от температурного поля.

В обычных условиях теплообмена скорость изменения температуры мала по сравнению со скоростью распространения звука в материале, а поэтому тепловые напряжения в упругом теле в определенный момент можно определять исходя из температурного поля в рассматриваемый момент (стационарного или нестационарного) без учета сил инерции, соответствующих движению частиц тела при переменном тепловом расщирении;

это равносильно отбрасыванию в уравнении (1.6.1) инерционного члена

Постановка задачи термоупругости, в которой не учитываются член механической связи в уравнении теплопроводности и инерционные члены в уравнениях равновесия, называется квазистатической.

Первый этап в решении этой задачи заключается в нахождении температурного поля Он сводится к решению уравнения (1.6.2), в котором отбрасывается член, зависящий от деформации, при начальном условии, определяющем распределение температуры в момент времени и при граничных условиях, устанавливающих закон теплообмена между окружающей средой и поверхностью тела (глава третья).

После нахождения температурного поля определяется соответствующее термоупругое напряженное состояние. Так как в термоупругих уравнениях игнорируются инерционные члены, то время здесь играет роль параметра.

Задача заключается в определении 15 функций удовлетворяющих трем уравнениям равновесия

в которых учитывается действие статических объемных сил, шести соотношениям между напряжениями и деформациями (1.5.11) или (1.5.13) и шести соотношениям между деформациями и перемещениями (1.2.2). Граничные условия на одной части поверхности упругого тела могут быть заданы в перемещениях

а на другой части его поверхности в напряжениях

где

При решении отдельных задач термоупругости удобно принимать в качестве основных неизвестных компоненты вектора перемещения и, или компоненты тензора напряжения 0,7. В соответствии с этим различают постановку задачи термоупругости в перемещениях (§ 2.2), при которой раньше всех других неизвестных находятся неизвестные и постановку задачи термоупругости в напряжениях (§ 2.3), когда начинают решение задачи с определения неизвестных

Для представления общего решения задачи термоупругости в перемещениях (§ 2.2) используются формулы П. Ф. Папковича [40], которые являются наиболее удобными для применения, так как они содержат функции, подчиняющиеся сравнительно простым дифференциальным уравнениям, и имеют

функциональный произвол, который можно эффективно использовать при удовлетворении граничных условий.

Постановка задачи термоупругости в напряжениях, излагаемая в § 2.3, предусматривает, кроме односвязной, также и случай многосвязной области; при этом устанавливаются условия однозначности для перемещений и углов поворота.

Определение тепловых перемещений и напряжений в теле путем непосредственного интегрирования соответствующих дифференциальных уравнений и удовлетворения неоднородных граничных условий, вообще говоря, является сложной задачей. Поэтому большой интерес представляют вариационные принципы термоупругости, рассматриваемые в § 2.4, с помощью которых могут быть разработаны приближенные методы решения задач термоупругости, аналогичные известным вариационным методам изотермической теории упругости [23]:

методы, основанные на обобщенном на случай задачи термоупругости вариационном уравнении Лагранжа совместно с выражениями, аппроксимирующими возможные перемещения, и методы, основанные на обобщенном на случай задачи термоупругости принципе минимума потенциальной энергии деформации совместно с выражениями, аппроксимирующими возможные напряжения.

Один из прямых методов решения задачи термоупругости — метод В. М. Майзеля [29], основанный на обобщении теоремы о взаимности работ, приводится в § 2.5.