§ 5.7. Тепловые напряжения в конической оболочке

В конической оболочке (а — угол между осью и образующей срединной поверхности оболочки). Тогда разрешающее уравнение (5.5.11) (для определенности берем верхний знак) принимает вид

где

Вводя новую переменную

вместо (5.7.1) получаем

где

Построим сначала решения для краевого эффекта.

Посредством замены независимой переменной и функции по формулам

однородное уравнение, соответствующее уравнению (5.7.3), приводим к уравнению Бесселя

Уравнение (5.7.5) имеет общий интеграл

где - функции Бесселя второго порядка первого и второго рода; постоянные интегрирования (вообще говоря, комплексные).

Учитывая формулы (5.7.4), находим общее рещение однородного уравнения, соответствующего (5.7.3):

Возвращаясь к переменной и вводя

общее рещение переписываем следующим образом:

Функции выражаются через функции Бесселя от мнимого аргумента

Используя эти выражения, находим

где

Переходя от функций Бесселя второго порядка к функциям Бесселя нулевого порядка по формулам

вместо (5.7.11) получаем

Разделяя и Ко на действительные и мнимые части с помощью функций Томсона

и заменяя комплексные постоянные интегрирования выражениями

можно записать следующие четыре частных решения однородного уравнения для усилия и деформации

где

По известным решениям определяются все остальные усилия, моменты и перемещения.

Как описано в § 5.6, из первого уравнения (5.5.2) находим

Выражая деформацию через по первой из формул (5.5.6), из соотношений (5.4.6) получаем

где

Перемещение определяется из дифференциального уравнения (5.6.3) (постоянную интегрирования опускаем — она учтена в общем решении (5.6.5)):

Получаем следующие частные решения для усилий моментов и перемещения :

(см. скан)

где

Остальные перемещения определяются следующим образом. Перемещение и находится из соотношения (5.6.4), где деформация выражается через усилия по второй из формул

Радиальное и осевое перемещения, которые связаны с зависимостями

имеют следующие частные рещения:

Угол поворота определяется на основании формул (5.2.15) и (5.4.3)

Для построения частных решений неоднородного уравнения (5.7.3) достаточно рассмотреть частные решения этого уравнения при свободных членах

При свободном члене (5.7.28) частное решение определяется рядом

где

При свободном члене (5.7.29) частное решение принимает вид

где

функция Бесселя второго порядка первого рода от мнимого аргумента,

Составляя определенным образом линейные комбинации частных решений (5.7.30) и (5.7.31) с соответствующими

частными решениями однородного уравнения, можно получить частные решения неоднородного уравнения в виде полиномов

где

постоянная Эйлера.

При неравномерном нагреве, соответствующем чисто тепловой деформации

постоянная А в свободном члене (5.7.29) имеет вид

и частные решения неоднородного уравнения записываются следующим образом:

при

при

(см. скан)

При неравномерном нагреве, соответствующем чисто тепловой деформации

постоянная А в свободном члене (5.7.28) имеет вид

и частные решения неоднородного уравнения записываются следующим образом:

(см. скан)

(см. скан)

При нагрузке оболочки контурными осевыми силами постоянная в свободном члене (5.7.29) имеет вид

и частные решения неоднородного уравнения записываются следующим образом: