§ 3.6. Нестационарное плоское осесимметричное температурное поле диска

Определим нестационарное плоское температурное поле сплошного диска постоянной толщины и радиуса при одинаковом конвективном теплообмене на поверхностях

Применяя в случае полярных координат уравнение (3.2.8) и вводя относительную координату и безразмерное время получаем для рассматриваемой задачи уравнение теплопроводности

при условиях

где

Здесь введены следующие обозначения: — температура среды и коэффициент теплоотдачи на поверхностях диска и — температура среды и коэффициент теплоотдачи на контуре диска является функцией

Для решения уравнения теплопроводности (3.6.1) применяем интегральное преобразование Лапласа.

Интегральное преобразование Лапласа функции состоит в умножении ее на экспоненциальную функцию где некоторая комплексная величина, и интегрировании в пределах от 0 до Получаем некоторую новую функцию

которая называется изображением.

Выполняя такое преобразование в уравнении (3.6.1) при условиях (3.6.2), от дифференциального уравнения в частных производных для неизвестной функции переходим к обыкновенному дифференциальному уравнению для ее изображения

при условии

где

уравнение (3.6.4) по форме совпадает с уравнением (3.3.3). По аналогии с решением последнего находим решение уравнения (3.6.4) при граничном условии (3.6.5) в виде

где

Пусть температура среды, омывающей наружный контур диска изменяется во времени по экспоненциальному закону

где постоянные величины. Вычисляя величину

и подставляя ее в решение (3.6.7), находим следующее решение для изображения:

Зная изображение, находим по нему искомую функцию. Переход от изображения к оригиналу функции составляет основную трудность рассматриваемого решения дифференциальнога уравнения. Этот переход осуществляется с помощью известной в теории операционного исчисления теоремы разложения, которая впервые была установлена М. Е. Ващенко-Захарченко [4].

Обобщенная теорема разложения гласит: если изображение есть отношение трансцендентных функций

где функция имеет только простые корни искомая функция

где

Существует аналогичная теорема разложения и для кратных корней.

Для применения формулы (3.6.10) к рассматриваемому случаю определяем корни уравнения

Корнями уравнения (3.6.11) являются

и корни уравнения

где функции Бесселя первого рода нулевого и первого порядка.

Учитывая значения этих корней и выполняя переход от изображения (3.6.9) к оригиналу с помощью формулы (3.6.10), после проведения необходимых преобразований получаем следующее выражение для температуры диска:

где

в случае мгновенного приложения среды с температурой находим температурное поле из решения (3.6.12), полагая в нем

где