§ 7.4. Плоские волиы расширения в неограниченном сплошном теле

Пусть в неограниченной термоупругой среде возникают плоские гармонические волны расширения с круговой частотой . Предполагая в связи с этим, что в решении являются функциями только координаты X, т. е. получаем вместо (7.1.7) уравнение решение которого имеет вид

Внося выражение (7.4.2) в (7.1.8) и полагая для случая гармонических волн находим искомое решение

где величины после замены на определяются выражениями (7.1.3), а

Рассмотрим распространение преимущественно упругой волны, связанной с

Для определения величины имеем формулу

где

Безразмерный коэффициент для большинства материалов в области частот, встречающихся в инженерной практике, очень мал; в дальнейшем будем считать, что

Разложим выражение для в ряд по степеням Выполняя необходимые преобразования, наодим

где

Величина с является адиабатической фазовой скоростью безвихревых волн в неограниченной среде. Этот физический смысл устанавливается следующим образом.

Полагая в случае адиабатического процесса и принимая во внимание обозначение (7.1.4) для величины из уравнения (1.6.13) получаем волновое уравнение

где адиабатическая скорость с связана с изотермической скоростью распространения волны расширения соотношением (7.4.7). Этот же результат получается при подстановке в выражение

значения (1.5.29) для постоянной Ляме в случае адиабатической деформации.

Подставляя (7.4.5) в решение (7.4.3), взятое при и выбирая знак «минус» перед (рассматриваем волну, распространяющуюся в направлении возрастания находим решение для перемещения преимущественно упругой волны

где

Коэффициент является отрицательной величиной; поэтому амплитуда волны подвергается затуханию в теплопроводящей среде по экспоненциальному закону. Фазовая скорость распространения этой волны

Подставляя значение и учитывая, что для большинства материалов находим следующую величину фазовой скорости:

Определим теперь для рассматриваемой волны относительное рассеяние энергии где энергия, рассеянная в течение цикла напряжений, упругая энергия, накопленная делом в момент достижения наибольшей деформации.

Обозначим через и последовательные значения амплитуд перемещения по одну и ту же сторону от положения равновесия.

Если относительное рассеяние энергии мало по сравнению с единицей, то

Так как на основании формулы (7.4.8)

где

то, учитывая значения коэффициентов (7.4.6), находим