§ 1.6. Постановка и представление общего решения задачи термоупругости

В общем случае постановка задачи термоупругости заключается в следующем.

Необходимо определить 16 функций координат и времени а именно: шесть компонентов тензора напряжения шесть компонентов тензора деформации три компонента вектора перемещения и, и температуру удовлетворяющих:

1) трем уравнениям движения

2) уравнению теплопроводности

где коэффициент температуропроводности;

3) шести соотношениям между напряжениями и деформациями

4) шести соотношениям между деформациями и перемещениями

при начальных и граничных условиях, заданных, например, через перемещения и температуру следующим образом:

1) начальные условия

2) граничные условия

Здесь и дальше обозначения п. являются функциями всех переменных ).

Для этой задачи доказывается теорема единственности [69].

Составим теперь уравнения движения в перемещениях. Выражая в уравнениях (1.6.1) напряжения через деформации по формулам (1.6.3) и учитывая, что члены, содержащие и сохраняются только при получаем

В этом уравнении деформации заменяем перемещениями по формуле (1.6.4). Внося при этом вместо у немой индекс и учитывая, что находим

Три уравнения (1.6.7) совместно с четвертым уравнением (1.6.2) при определенных начальных и граничных условиях описывают изменение в пространстве и во времени поля деформаций и температурного поля. Представим эти уравнения в векторной форме:

Вектор перемещения и может быть разложен на потенциальную и соленоидальную части и представлен в виде

где скалярный потенциал; А — векторный потенциал.

После подстановки выражения (1.6.9) в уравнения (1.6.8) получаем ряд уравнений, решения которых можно представить [35, 59, 65]

Здесь скорость распространения упругой безвихревой волны (волны расширения); скорость распространения упругой волны искажения (поворотов), вызывающей изменение формы без изменения объема; температура тела в ненапряженном состоянии, при котором

Исключая из уравнений (1.6.10) и (1.6.12), получаем одно уравнение для функции Ф:

Если пренебречь взаимодействием поля деформаций и температурного поля, то получаем представление общего решения (1.6.9) динамической задачи термоупругости, в котором скалярный потенциал и векторный потенциал А определяются из уравнений

где

Решение связанной задачи термоупругости в общем случае представляет значительные математические трудности. Для приближенного решения этой задачи целесообразно использовать вариационный принцип.