§ 1.7. Вариационный принцип для связанной задачи термоупругости

Исходя из основных положений термодинамики необратимых процессов, [52] установил вариационный принцип для связанной задачи термоупругости. Здесь приводится вывод этого принципа, несколько отличающийся от предложенного

Ограничиваясь небольшими отклонениями термодинамической системы от равновесного состояния вводим в рассмотрение два векторных поля: поле вектора перемещения и поле вектора энтропии 5. Вектор энтропии 5 определяет количество тепла, прошедшего в данном направлении, деленное на абсолютную температуру. Он связан с вектором потока тепла следующим равенством:

или

где компоненты вектора энтропии.

На основании уравнения (1.4.1) и равенства (1.4.7) имеем

где — плотность энтропии.

Варьированию подвергаются компоненты вектора перемещения и компоненты вектора энтропии Сообщая им шесть независимых вариаций ) и используя уравнения (1.6.1), (1.4.4) и (1.7.1), составляем следующее очевидное равенство:

где интегрирование распространяется по всему объему тела.

с помощью формулы Остроградского — Гаусса уравнение (1.7.4) преобразуем к виду

применяя формулы (1.6.3), (1.7.2) и (1.5.25), преобразуем третий и пятый интегралы в уравнении (1.7.5) к виду

При преобразовании интегралов (1.7.6) и (1.7.7) учитываем, что Подставляя эти интегралы в уравнение (1.7.5) и принимая во внимание равенство (1.2.8), сформулируем вариационный принцип для связанной задачи термоупругости в следующем виде:

где

Скалярный инвариант называется термоупругим потенциалом Био, а скалярный инвариант функцией рассеяния.

Инвариант как видно из равенства (1.7.3), пропорционален скорости образования энтропии всего объема тела.

правую часть уравнения (1.7.8) можно интерпретировать как обобщенную виртуальную работу; при этом величина единичный вектор внешней нормали к поверхности) аналогична силе, а виртуальному перемещению.

В случае несвязанной задачи термоупругости вариациям подвергаются только компоненты вектора перемещения Игнорируя при этом в равенстве (1.7.7) связывающий член из вариационного принципа (1.7.5) получаем вариационное уравнение Лагранжа для случая термоупругого равновесия (§ 2.3). Если, наоборот, в уравнении (1.7.8) приравнять механические члены нулю, то получим вариационное уравнение теплопроводности

где