§ 7.2. Тепловые напряжения в упругом полупространстве, возникающие при тепловом ударе на его поверхности

Задача о тепловом ударе на поверхности полупространства является одной из первых динамических задач термоупругости, подвергшихся детальному исследованию.

Впервые эта задача рассмотрена В. И. Даниловской [8, 9]. Пусть начальная температура упругого полупространства равна

В момент времени температура среды внезапно повышается до значения при этом на границе полупространства происходит конвективный теплообмен со средой.

Нестационарное одномерное температурное поле полупространства в соответствии с уравнениями (3.1.3) и (3.1.8) должно удовлетворять уравнению теплопроводности

и условиям

Применяя к уравнению (7.2.1) и условию (7.2.3) преобразование Лапласа (3.6.3), приходим к решению уравнения

при условии

Решение уравнения (7.2.4), удовлетворяющее условию (7.2.5), а также условию ограниченности при имеет вид

где (а — коэффициент теплоотдачи от среды к границе полупространства; коэффициент теплопроводности).

Переходя от изображения к оригиналу с помощью правил, указанных в книге [27], находим

где

и

интеграл вероятности Гаусса, а символ означает экспоненциальную функцию, а

В случае температура поверхности, как это видно из условия (7.2.3), мгновенно принимает значение температуры окружающей среды В этом случае решение (7.2.7) принимает вид

Переходим к решению одномерной динамической задачи термоупругости, в которой перемещения и все производные по координатам равны нулю, а, следовательно,

Из соотношений (1.5.13) имеем

а из первого уравнения движения (1.2.15) получаем

Дифференцируя обе части уравнения (7.2.11) по и подставляя вместо производной — деформацию определяемую выражением (7.2.10), находим следующее уравнение движения:

где скорость распространения упругой продольной волны.

Решение уравнения (7.2.12) ищем при следующих начальных и граничном условиях:

Применяя к уравнению (7.2.12) и граничному условию (7.2.14) преобразование Лапласа, приходим к решению уравнения

при граничном условии

Подставляя в уравнение (7.2.15) изображение (7.2.6) для температуры, получаем

Решение уравнения (7.2.17) при условии (7.2.16) с учетом ограниченности функции о при имеет вид

С целью облегчения перехода к оригиналу приводим это выражение к виду

Используя теорему запаздывания и таблицу изображений, помещенную в книге [27], находим

где

В случае мгновенного повышения температуры поверхности полупространства от до функции (7.2.21) в решении (7.2.20) получают следующие выражения:

где

Зная определяем нормальные напряжения а по формулам (7.2.9).

Если в уравнении (7.2.11) пренебречь силами инерции, т. е. положить то на основании граничного условия и формул (7.2.9) получим решение рассматриваемой задачи в квазистатической постановке:

Рис. 26.

Из рассмотрения формул (7.2.9) и (7.2.23) можно сделать заключение о том, что решение динамической задачи (7.2.20) совпадает с решением в квазистатической постановке во всех тех случаях, когда а именно: в начальный момент времени для всей области полупространства при на поверхности полупространства

В. И. Даниловская исследовала изменение динамического напряжения в фиксированном сечении

На рис. 26 для случая приводится график изменения относительного напряжения зависимости от безразмерного времени — в сечении Здесь динамическое напряжение сначала возрастает от нуля при до некоторого отрицательного значения о при В момент

времени продольная волна напряжения а движущаяся от поверхности внутрь полупространства со скоростью достигает сечения и в нем происходит скачкообразное изменение напряжения на величину с переходом в область положительных значений. После этого динамическое напряжение быстро уменьшается до нуля, приближаясь к квазистатическому. а,

В случае характер изменения динамического напряжения будет зависеть от параметра

Для малых значений параметра напряжение растет от нуля до некоторого отрицательного значения, затем переходит плавно без скачка в область положительных значений, достигает максимального положительного значения и после этого быстро убывает до нуля.

Для больших значений параметра напряжение возрастает в области положительных значений и, достигнув некоторого максимума, быстро уменьшается до нуля.

Исследование теплового удара на поверхности полупространства с конечной скоростью изменения температуры приводится в книге [41].

Установлено, что динамический эффект существенно уменьшается, если изменение температуры поверхности происходит не мгновенно, а в течение малого, но конечного интервала времени. Так, например, даже при весьма малой продолжительности нагрева сек максимум динамического напряжения, указанный на рис. 26, снижается на 86%.