§ 7.5. Продольные волны в бесконечно длинном сплошном цилиндре

Рассмотрим влияние термоупругого рассеяния энергии на распространение продольных волн в бесконечно длинном сплошном цилиндре.

Общее решение рассматриваемой задачи в перемещениях (1.6.9) состоит из потенциальной и соленоидальной частей.

Для определения потенциальной части решения используем метод, рассмотренный в § 7.4.

Предполагая движение осесимметричным и происходящим в плоскости полагаем пространственное изменение скалярного

потенциала в цилиндрических координатах . Тогда уравнение (7.1.7) принимает вид

Применяя метод разделения переменных (см. § 3.7), находим для сплошного цилиндра следующее решение:

где функция Бесселя нулевого порядка первого рода.

Внося решение (7.5.2) в (7.1.6), получаем

Переходя к соленоидальной части решения, замечаем, что вектор следует вычислять после замены В через А по формуле (6.1.2); при этом без ограничения общности можно положить [18]

где вектор А носит название векторного потенциала.

Принимая во внимание формулы (2.6.3) и (7.5.4) и учитывая, что и все производные по координате 6 равны нулю, находим

Учитывая равенство (7.5.5), из векторного уравнения (1.6.11) получаем следующее скалярное уравнение для определения А:

Решением уравнения (7.5.6) для сплошного цилиндра является выражение

где функция Бесселя первого порядка первого рода;

Решения (7.5.3) и (7.5.7) подставляем в (1.6.9). Применяя при этом формулу (2.6.3) и формулы для дифференцирования функций Бесселя, при находим 2

Так как тепловые эффекты не связаны с поперечными волнами, то выражение температурного поля определяем по формуле (7.1.9)

Компоненты тензора напряжения на поверхности определяем по формулам (7.1.10) в виде

Для получения единственного решения рассматриваемой задачи необходимо удовлетворить как граничным условиям для напряжений, так и граничным условиям для теплообмена на цилиндрической поверхности.

Предполагаем, что цилиндр на своей поверхности свободен от внешних сил и теплоизолирован.

Удовлетворяя граничные условия

получаем для гармонических волн следующие уравнения:

Пусть радиус цилиндра достаточно мал, чтобы были малы по сравнению с единицей, т. е. длина гармонической волны велика по сравнению с радиусом цилиндра. Тогда

Подставляя эти приближенные значения в систему уравнений (7.5.12) и приравнивая определитель этой системы нулю, находим следующее частотное уравнение:

Учитывая, что

преобразуем частотное уравнение (7.5.13) к виду где

где

При отсутствии теплового эффекта фазовая скорость распространения продольных волн равна величине скорости распространения продольных волн в стержне, найденной по элементарной теории.

Тот факт, что уравнение (7.5.14) является комплексным, свидетельствует о том, что амплитуды волн затухают в пространстве.

Находим следующие корни уравнения (7.5.14):

где

Легко показать, что уравнение (7.5.16) отвечает волнам двух видов, из которых один, связанный с близок к чисто упругой волне, а второй, связанный с по своему характеру сходен с чисто тепловой волной.

Ограничимся изучением распространения преимущественно упругой волны.

Предполагая, что получаем

где

Если теперь положить

где вещественные величины, и ввести безразмерную фазовую скорость по формуле

то уравнение (7.5.18) приводит к следующему уравнению:

где величина удовлетворяет алгебраическому уравнению

Отрицательный корень этого уравнения, соответствующий затухающей в пространстве волне, равен

Подставляя значение величины (7.5.23) в уравнение (7.5.21), при и получаем следующее выражение для безразмерной фазовой скорости:

где — безразмерная фазовая скорость волн расщирения в стержне, соответствующая адиабатическому процессу.

Скорость можно получить, решая рассматриваемую задачу при

Литература

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)