§ 2.5. Обобщение теоремы о взаимности работ на случай задачи термоупругости

Рассмотрим два напряженных состояния упругого тела, из которых первое состояние характеризуется напряжениями деформациями и перемещениями возникающими под

действием внешних сил и температурного поля а второе - напряжениями деформациями и перемещениями возникающими под действием внешних сил и температурного поля

Определяя работу сил первого состояния на перемещениях второго состояния, применяя формулу Остроградского — Гаусса и используя уравнения равновесия и граничные условия в напряжениях, находим

Аналогичным образом можно получить выражение для работы сил второго состояния на перемещениях первого состояния:

Сравнивая работу сил первого состояния на перемещениях второго состояния с работой сил второго состояния на перемещениях первого состояния, после замены с помощью соотношений (1.5.11) и (1.5.13) напряжений через деформации или, наоборот, деформаций через напряжения, приходим к следующей формуле:

Полученная формула обобщает известную теорему о взаимности работ на случай статической и квазистатической задач термоупругости. Это обобщение принадлежит Майзелю [29, 30].

Рассмотрим теперь применение формулы (2.5.3) для определения перемещений, возникающих в определенной точке тела при неравномерном нагреве. Для этого предположим, что а система внешних сил сводится к сосредоточенной единичной силе, приложенной в точке и направленной параллельно оси

Пусть при действии такой единичной силы, приложенной в точке в точке упругого тела возникают напряжения и деформации В этом случае из формулы (2.5.3) получаем формулы В. М. Майзеля для определения перемещений в точке от действия температурного поля Г:

где суммы диагональных компонентов (первые инварианты) тензора напряжения а. и тензора деформации

Формулы (2.5.4) допускают обобщение на тот случай, когда модуль упругости и коэффициент Пуассона (или коэффициенты Ляме зависят от температуры и, следовательно, являются заданными функциями координат в этом случае они имеют вид

Здесь под следует понимать суммы диагональных компонентов тензора напряжения а и тензора деформации соответствующих действию единичной силы на такое упругое тело, для которого переменные изменяются в зависимости от координат по тому же закону, что и при действии температурного поля

Таким образом, метод решения задачи термоупругости, основанный на теореме взаимности, заключается в том, что определение напряженного состояния в упругом теле под действием температурного поля сводится к задаче изотермической теории упругости о напряженном состоянии упругого тела под действием единичной сосредоточенной силы.

При осесимметричной деформации задача термоупругости сводится к задаче о напряженном состоянии равномерно нагретого тела, находящегося под действием сосредоточенных сил, равномерно распределенных вдоль окружности.

Совершенно ясно, что применение этого метода требует наличия готовых решений задач изотермической теории упругости для тел, подверженных действию сосредоточенных сил.