§ 1.2. Деформация. Уравнения равновесия (движения). Работа внешних сил

В настоящем параграфе рассмотрим в сжатой форме те основные положения механики сплошной среды [20, 36, 44], которые устанавливаются в линейной теории упругости и используются в термоупругости.

Предполагаем, что перемещения и их производные являются малыми величинами. Дифференцируя вектор и по переменной получаем тензор второго ранга который можно

представить в виде суммы симметричного и антисимметричного тензоров:

Симметричный тензор называется тензором деформации; его компоненты связаны с компонентами вектора перемещения следующим соотношением:

где

Антисимметричный тензор обладает тем свойством, что для любых индексов

Он имеет таблицу компонентов

т. е. определяется тремя величинами , являющимися компонентами аксиального вектора

Вектор со называется вектором поворота; он равен по величине среднему значению угла поворота объемного элемента и направлен в сторону поступательного движения винта с правой нарезкой в правой системе координат.

Применяя единичный вектор (см. § 1.1), можно установить следующую зависимость между вектором поворота и антисимметричным тензором

Умножая обе части уравнения на единичный вектор и используя тождество (1.1.5), получаем

Рассмотрим упругое тело, внутри которого выделим объем V, ограниченный поверхностью (рис. 1). Пусть точка граничной поверхности элемент этой поверхности, содержащий точку Положение элемента поверхности задается единичным вектором внешней нормали к поверхности О. в точке На рассматриваемый объем действуют внешние силы, которые разделяются на поверхностные и объемные.

На элемент поверхности в точке со стороны внешней нормали действует вектор поверхностной силы где вектор плотности поверхностной силы, величина которого называется напряжением.

На элемент объема в точке действует вектор объемной силы где вектор плотности объемной силы.

Если элемент объема, содержащий точку будет совершать движение с ускорением и, то, кроме силы на него будет действовать сила инерции где плотность массы тела в точке вектор плотности объемной силы инерции.

Рис. 1.

Рис. 2.

Выделим элемент объема в точке в виде бесконечно малого тетраэдра, три грани которого параллельны координатным плоскостям, а четвертая грань площадью имеет внешнюю нормаль (рис. 2).

Условие равновесия всех сил, действующих на тетраэдр, имеет вид

(объемные силы не учитываются, так как они являются величинами более высокого порядка малости), где векторы плотности поверхностных сил на площадках, перпендикулярных осям компоненты единичного вектора равные косинусам углов, составляемых вектором с осями

Пусть разложения векторов по ортам рис. 2) определяются выражениями

Тогда, учитывая (1.2.16), векторное равенство (1.2.6) можно представить тремя скалярными

где компоненты вектора плотности поверхностной силы; компоненты тензора напряжения.

В системе декартовых координат тензор напряжения определяется таблицей (1.1.3) своих компонентов. Диагональные элементы таблицы (1.1.3) являются нормальными напряжениями на соответствующих площадках, а недиагональные — касательными (рис. 3).

Рис. 3

Рассмотрим условия равновесия произвольного объема V тела, ограниченного поверхностью Для этого необходимо приравнять нулю главный вектор и главный момент (относительно произвольной точки) внешних объемных и поверхностных сил; при движении тела в соответствии с принципом Даламбера в объемные силы должны включаться силы инерции. Указанные условия равновесия дают следующие уравнения:

где радиус-вектор точки приложения силы.

Подставляя в уравнения (1.2.9) и (1.2.10) выражение (1.2.8) для и применяя формулу Остроградского — Гаусса, интегралы по поверхности преобразуем к виду

при выводе равенства (1.2.12) учитываем, что где символ Кронекера. Подставляя равенство (1.2.11) в уравнение (1.2.9), а равенство (1.2.12) — в уравнение (1.2.10), получаем

В силу произвольности объема V из уравнения (1.2.13) получаем следующие три уравнения равновесия (движения):

Учитывая уравнение (1.2.15), из уравнения (1.2.14) находим

или

т. е. тензор напряжения является симметричным тензором.

В заключение этого параграфа рассмотрим скорость работы внешних сил при деформации упругого тела объемом V

Подставляя в уравнение (1.2.17) выражение (1.2.8) для и преобразуя поверхностный интеграл по формуле Остроградского-Гаусса в объемный, получаем вместо (1.2.17) следующее уравнение:

Принимая во внимание уравнение (1.2.15) и тождество (1.2.1), находим скорость работы внешних сил, отнесенной к

единице объема упругого тела:

При выводе этого выражения учитываем, что так как симметричный, а антисимметричный тензор.