Глава третья. Основные законы и задачи теплопроводности

§ 3.1. Общие замечания. Основные уравнения

Температурное поле и поле напряжений в твердом теле, вообще говоря, взаимосвязаны (см. первую главу). Однако при обычной теплопередаче, происходящей в неравномерно нагретом твердом теле за счет внешних источников тепла, влияние напряжений и деформаций на распределение в нем температуры можно игнорировать. Это позволяет распределение температуры в твердом теле, соответствующее определенным условиям теплопередачи, изучать независимо от его напряженного состояния.

В твердом теле перенос тепла осуществляется одной только теплопроводностью, имеющей молекулярно-атомный характер, без макроскопических движений в теле.

Теплопередача на поверхности тела может происходить тремя способами: теплопроводностью, конвекцией и излучением.

При конвективном теплообмене перенос тепла осуществляется за счет движения неравномерно нагретой жидкости (газа), омывающей тело; при этом под конвективным теплообменом понимается суммарный перенос тепла частицами жидкости и теплопроводностью.

Теплообмен излучением (лучистый теплообмен) происходит между удаленными друг от друга телами (или частями тела) посредством электромагнитных волн.

Уравнение теплопроводности, необходимое для исследования температурных полей в упругих телах, можно получить из уравнения теплопроводности (1.5.26), отбрасывая в нем член, зависящий от деформации.

Здесь приведем независимый вывод этого уравнения. Количество тепла, поглощаемое единицей объема тела в единицу времени, равно где с — удельная объемная теплоемкость вещества тела.

С другой стороны, количество тепла, теряемое единицей объема тела в единицу времени, равно где вектор плотности потока тепла.

Предполагая в теле наличие источников тепла, выделяющих в единице объема в единицу времени количество тепла и принимая во внимание уравнение (1.4.4), на основании баланса тепла находим уравнение теплопроводности

Если принять коэффициент теплопроводности постоянным, то уравнение (3.1.1) принимает вид

где — коэффициент температуропроводности.

При отсутствии в теле источников тепла уравнение (3.1.2) превращается в уравнение

Решение уравнения (3.1.3) определяет нестационарное температурное поле. Для стационарного температурного поля уравнение (3.1.3) переходит в уравнение Лапласа

Для однозначности решения уравнения (3.1.2) необходимо его дополнить соответствующими начальным и граничными уело, виями.

В качестве начального условия задается распределение температуры тела в фиксированный момент времени.

Граничные условия обычно связаны со сложным теплообменом на поверхности тела, где могут иметь место все три способа теплопередачи одновременно.

В теории теплопроводности применяются следующие основные идеализированные граничные условия. 1. Задана температура поверхности

точка на поверхности тела и заданная функция.

2. Задана плотность теплового потока, выходящего из тела в окружающую среду:

где внешняя нормаль к поверхности тела в точке

В частном случае, когда имеет место адиабатическое граничное условие для тела, идеально изолированного от внешнего теплообмена:

3. Заданы температура окружающей среды и закон конвективного теплообмена между поверхностью тела и окружающей средой

где а — коэффициент теплоотдачи.

Коэффициент теплоотдачи а зависит от термических и физических характеристик поверхности тела и окружающей среды.

Различают теплообмен при свободной конвекции, возникающей при естественном перемещении частиц жидкости за счет неравномерной ее плотности, обусловленной неравномерным нагревом, и при вынужденной конвекции, создаваемой движением жидкости посредством внешних механических воздействий (нагнетанием жидкости от насоса, движением высокоскоростного воздушного потока относительно самолета и др.); теплообмен при вынужденной конвекции происходит более интенсивно, чем при свободной конвекции.

Для конвективного теплообмена важным является состояние так называемого пограничного слоя, под которым понимается область потока жидкости, прилегающая к поверхности обтекаемого тела, с резким изменением скорости и температуры (от скорости и температуры свободного потока до скорости и температуры на поверхности тела).

Течение жидкости в пограничном слое может быть ламинарное, когда частицы жидкости перемещаются слоями, и турбулентное, при котором частицы жидкости совершают пульсационные движения, приводящие к интенсивному перемешиванию слоев движущейся жидкости. Турбулентное течение происходит в результате потери устойчивости ламинарного течения. Условия перехода из ламинарного течения в турбулентное определяются

некоторым (критическим) числом — так называемым числом Рейнольдса где плотность; средняя скорость течения; линейный размер; коэффициент вязкости.

Теплообмен при ламинарном течении осуществляется в основном теплопроводностью, а теплообмен при турбулентном течении происходит в основном за счет пульсационных макроскопических движений частиц жидкости.

При турбулентном течении коэффициент теплоотдачи может быть во много раз больше, чем при ламинарном.

Из указанного ясно, что коэффициент а изменяется в очень широких пределах и его следует каждый раз выбирать в зависимости от условий конвективного теплообмена на основании экспериментальных данных.

При больших скоростях газа (например, в случае аэродинамического нагрева) в уравнение (3.1.8) вместо температуры свободного потока следует подставить так называемую адиабатическую температуру поверхности

Вследствие трения в пограничном слое кинетическая энергия свободного потока переходит в теплоту; при этом повышается температура в пограничном слое и на теплоизолированной поверхности конструкции устанавливается адиабатическая температура поверхности определяемая по формуле

где температура и скорость свободного потока газа; удельная массовая теплоемкость газа при постоянном давлении; коэффициент восстановления, показывающий, какая часть кинетической энергии свободного потока переходит в теплосодержание потока на поверхности.

Коэффициент восстановления при определенном состоянии пограничного слоя определяется в основном числом Прандтля которое для воздуха в широком интервале температуры почти не изменяется; например, при

Теоретические исследования установили, что в случае ламинарного пограничного слоя на плоской пластине а при турбулентном пограничном слое

Для решения дифференциальных уравнений в частных производных (3.1.2), (3.1.3) применяются методы разделения переменных; методы, основанные на интегральных преобразованиях; методы, использующие наложение решений для источников

тепла и других решений; численные методы и др. Они излагаются в монографиях, посвященных теории теплопроводности, как, например, в монографиях [27, 57] и др., а также в специальной литературе [1].

Исследование уравнений теплопроводности (параболического и эллиптического типа) содержится в курсах математической физики [43, 46, 49]. Здесь рассматриваются задачи теплопроводности, имеющие наибольшее практическое значение и иллюстрирующие применение основных методов теории теплопроводности. К ним относятся задача о нестационарном теплообмене пластины произвольного профиля, решение которой основано на аппроксимации температуры по толщине пластины по степенному закону (§ 3.2); задачи о стационарном и нестационарном осесимметричном плоском температурном поле диска (§ 3.3 и § 3.6); задача о нестационарном осесимметричном теплообмене полого цилиндра конечной длины с окружающей средой, исследованная с помощью интегрального преобразования Лапласа и метода разделения переменных (§ 3.7), и др.