Глава четвертая. Плоская задача термоупругости

§ 4.1. Основные уравнения плоской задачи термоупругости

Рассмотрим в квазистатической постановке две типичные плоские задачи термоупругости, возникающие при плоском температурном поле о плоской деформации и плоском напряженном состоянии.

Плоская деформация возникает в длинном цилиндрическом или призматическом теле, когда его ось совпадает с осью (рис. 13).

Для плоской деформации характерными являются перемещения

при которых обращаются в нуль деформации и напряжения а,

Полагая в соотношении (1.5.13) получаем

Зная а, находим соотношения между деформациями в и напряжениями в следующем виде:

где

Плоское напряженное состояние возникает в тонкой пластине, когда ее срединная поверхность расположена в плоскости при этом поверхности пластины должны быть свободными от внешних усилий (см. рис. 13).

Рис. 13.

При плоском напряженном состоянии напряжения равномерно распределены по толщине пластины, а остальные напряжения отсутствуют:

Деформации определяются по формулам

Общая постановка плоской задачи термоупругости в декартовых координатах сводится к нахождению восьми функций а,

, удовлетворяющих в случае отсутствия объемных сил двум уравнениям равновесия

трем соотношениям между деформациями и напряжениями (4.1.6) (плоское напряженное состояние) или (4.1.3) (плоская деформация) и трем соотношениям между деформациями и перемещениями

После решения этой основной задачи в случае плоского напряженного состояния определяется по формуле (4.1.7), а в случае плоской деформации — а по формуле (4.1.2). Граничные условия на наружном контуре задаются либо в напряжениях

либо в перемещениях

Здесь компоненты вектора плотности поверхностной силы; компоненты единичного вектора внешней нормали к контуру.

Если граничные условия плоской задачи термоупругости заданы в перемещениях, то целесообразно решать плоскую задачу термоупругости в перемещениях.

Полагая в уравнении получаем следующие два уравнения, к решению которых сводится решение задачи термоупругости о плоской деформации в перемещениях:

где

оператор Лапласа для двумерной задачи.

Для получения соответствующих уравнений в случае плоского напряженного состояния поступаем следующим образом.

Из равенств (4.1.4) определяем

Этим величинам соответствуют

Подставляя величины (4.1.13) в уравнение (4.1.12) и заменяя затем V,, а., на а., получаем основные уравнения в перемещениях для плоского напряженного состояния.

Частное решение системы уравнений (4.1.12) в соответствии с решением (2.2.7) имеет вид

где на основании уравнения (2.2.8) термоупругий потенциал перемещений для плоской деформации удовлетворяет уравнению

Подставляя в это уравнение значения из равенств (4.1.13) и заменяя затем на находим соответствующее уравнение для плоского напряженного состояния:

К частному решению (4.1.15) системы уравнений (4.1.12) необходимо присоединить общее решение соответствующей однородной системы уравнений, содержащее необходимое число постоянных интегрирования для удовлетворения граничных условий в перемещениях (4.1.11). Такая постановка задачи пригодна как для односвязных, так и для многосвязных тел.

Не останавливаясь больше на этом вопросе, перейдем к постановке плоской задачи термоупругости в напряжениях. Рассмотрим сначала случай односвязных тел. Для двумерной задачи шесть уравнений совместности деформаций переходят в одно уравнение

Заменяя в этом уравнении по формулам (4.1.6) деформации напряжениями и принимая во внимание уравнения равновесия

(4.1.8), получаем для плоского напряженного состояния следующее уравнение совместности деформаций в напряжениях:

Вводим функцию напряжений по формулам

при этом уравнения равновесия (4.1.8) удовлетворяются тождественно.

Подставляя выражения (4.1.20) в уравнение (4.1.19), находим, что для плоского напряженного состояния функция напряжений должна удовлетворять уравнению

где

Заменяя в этом уравнении В, а на И подставляя их в выражения (4.1.4), получаем соответствующее уравнение для функции в случае плоской деформации:

Общее решение уравнения (4.1.21) или (4.1.23) имеет вид

где функция является общим решением бигармонического уравнения

а функция в случае плоского напряженного состояния — частным решением уравнения

а в случае плоской деформации — частным решением уравнения

Сформулируем граничные условия для функции напряжений в системе ортогональных криволинейных координат для односвязного тела.

Пусть в некоторой точке контура удовлетворяются граничные условия (4.1.10) (рис. 14). Выражая напряжения через

функцию напряжений по формулам (4.1.20) и учитывая равенства

переписываем условия (4.1.10) в виде

Интегрируя равенства (4.1.29), получаем

где постоянные.

Рис. 14.

Зная частные производные от функции напряжений в двух взаимно перпендикулярных направлениях, находим функцию напряжений (интегрированием по частям) и ее нормальную производную

Так как добавление линейной функции к функции напряжений не влияет на распределение напряжений, то постоянные можно принять равными нулю.

При отсутствии поверхностных сил граничные условия для функции напряжений в случае односвязного тела будут следующими:

Таким образом, плоская задача термоупругости в напряжениях сводится к нахождению общего решения (4.1.24) для функции напряжений к нахождению общего решения бигармонического уравнения (4.1.25) и частного решения уравнения Пуассона (4.1.26) или (4.1.27), при удовлетворении граничных условий (4.1.33).

Зная частные решения можно плоскую задачу термоупругости свести к плоской задаче изотермической теории упругости, для которой разработаны эффективные методы решения, основанные на применении теории функций комплексного переменного [34].

При стационарном температурном поле без источников тепла, удовлетворяющем уравнению

плоская задача термоупругости для односвязного свободного тела на основании уравнения (4.1.21) или (4.1.23) описывается уравнением

при граничных условиях (4.1.33). В этом случае задача становится полностью однородной. Ее единственное решение

и все напряжения в плоскости а, а равны нулю.

При плоской деформации единственный компонент тензора напряжения отличный от нуля, на основании формулы (4.1.2)

Таким образом, в односвязном свободном теле, находящемся в условиях плоской деформации или плоского напряженного состояния, стационарное температурное поле без источников тепла не вызывает напряжений а, а, о. Это свойство впервые было указано И. И. Мусхелишвили [33].

Для постановки плоской задачи термоупругости в напряжениях в случае многосвязных тел необходимы дополнительные уравнения, определяющие однозначность перемещений (§ 4.2). В многосвязных телах, находящихся в стационарном плоском температурном поле, в связи с неоднозначностью перемещений напряжения в плоскости вообще говоря, не равны нулю.

В заключение этого параграфа приведем основные соотношения плоской задачи в полярных координатах соотношения (4.1.9) между деформациями и перемещениями

соотношения между напряжениями и деформациями в случае плоского напряженного состояния

выражения для напряжений (4.1.20)

оператор Лапласа