§ 6.2. Тепловые напряжения в цилиндре конечной длины

Рассмотрим метод определения тепловых напряжений в сплошном цилиндре радиуса и длиной , подвергающемся действию осесимметричного нагрева, при котором температурное

поле является симметричным относительно оси и плоскости (рис. 24).

Цилиндрическая и торцевые поверхности цилиндра свободны от внешней нагрузки.

Задача нестационарной теплопроводности для цилиндра конечной длины рассмотрена в § 3.7.

В фиксированный момент времени температурное поле цилиндра аппроксимируем выражением

где Т — начальная температура, соответствующая ненапряженному состоянию цилиндра

Рис. 24.

Зная температурное поле, выбираем выражение для термоупругого потенциала перемещений, являющееся частным решением уравнения (6.1.6), в виде

Подставляя выражения (6.2.1) и (6.2.3) в уравнение (6.1.6), получаем следующее уравнение для определения функций

При из уравнения (6.2.4) определяем

При однородное уравнение, соответствующее уравнению (6.2.4), является уравнением Бесселя нулевого порядка.

Определяя при частное решение неоднородного уравнения (6.2.4) методом вариации произвольных постоянных, находим

При нахождении частного решения (6.2.6) используем известное из теории функций Бесселя соотношение

Соответствующие термоупругому потенциалу (6.2.3) перемещения и напряжения, вычисленные по формулам (6.1.4) и (6.1.14), имеют выражения

(см. скан)

Переходим к построению общих решений однородных уравнений рассматриваемой задачи.

В силу симметрии температурного поля относительно плоскости общее решение (6.1.5), очевидно, должно удовлетворять условиям

Решение (6.1.5) считаем состоящим из двух частей:

Первая часть решения строится таким образом, чтобы с ее помощью удовлетворить произвольные граничные условия в напряжениях на поверхности цилиндра вычисленные напряжения для этой части решения должны иметь вид рядов по полной на интервале системе ортогональных функций. В связи с этим для функций и Во, входящих в решение (6.1.5), выбираем следующие выражения, удовлетворяющие уравнениям (6.1.7) и (6.1.9) и условиям (6.2.10):

Функцию удобно при этом положить равной нулю:

Подставляя выражения (6.2.12) в уравнения (6.1.7) и (6.1.9), получаем следующую систему уравнений для определения

Общие решения этих уравнений имеют вид

где произвольные постоянные.

Так как цилиндр является сплошным, то следует положить

Учитывая (6.2.17) и используя формулы (6.2.12) и (6.1.5), находим

При построении второй части решения и и и удобно принять

На основании аналогичных соображений представляем гармонические функции и Во в виде

в выражении являются корнями трансцендентного уравнения

При этом обеспечивается ортогональность функций

и необходимое условие для разложения любой функции в ряды по функциям на интервале

Подставляя выражения (6.2.20) в уравнения (6.1.8) и (6.1.9), получаем

Учитывая условия (6.2.11), решения уравнений (6.2.22) и (6.2.23) выбираем в виде

где произвольные постоянные.

Найденные выражения для функций В и Во позволяют вторую часть решения представить в виде

Подставляя выражения (6.2.18) и (6.2.25) в равенства (6.2.11), получаем общее решение однородных уравнений для перемещений:

Соответствующие напряжения, вычисленные по формулам (6.1.13) и (6.1.15), получают выражения

(см. скан)

Выражения (6.2.27) для компонентов тензора напряжений содержат необходимый функциональный произвол для удовлетворения

произвольных симметричных относительно плоскости граничных условий.

Для цилиндра, у которого поверхности свободны от напряжений, граничные условия имеют вид

Подставляя решения однородных уравнений для напряжений (6.2.27) в граничные условия (6.2.28), получаем следующую систему функциональных уравнений для определения постоянных

(см. скан)

Из граничных условий для касательных напряжений (6.2.30) получаем следующую зависимость между искомыми постоянными:

Используя известные разложения

и первое из выражений (6.2.9) для напряжения вместо первого функционального уравнения системы (6.2.29) получаем эквивалентные ему на интервале алгебраические уравнения

где

Аналогично с помощью разложений

где

вместо второго функционального уравнения системы (6.2.29) получаем эквивалентные ему на интервале алгебраические уравнения

Система двух уравнений (6.2.33) и (6.2.38) для определения отвечает элементарным решениям задачи о равновесии цилиндра конечной длины [26].

Исследуем парную бесконечную систему линейных алгебраических уравнений (6.2.34) и (6.2.39) относительно неизвестных постоянных

Вводя новые неизвестные по формулам

вместо системы алгебраических уравнений (6.2.34) и (6.2.39) получаем более удобную для исследования систему вида

где

Рассмотрим сумму коэффициентов каждой строки в бесконечной системе (6.2.41). Исходя из свойств равномерной сходимости рядов (6.2.32) и (6.2.36), получаем следующие равенства:

Можно показать, что функции

определенно положительные и каждая из них не превосходит единицы для всех Это обстоятельство указывает на то, что система уравнений (6.2.41) является регулярной [13].

Для существования ограниченного решения регулярных бесконечных систем определенные ограничения налагаются на их свободные члены; они должны иметь такой же порядок убывания на бесконечности, как и функции Для системы (6.2.41) последнее обеспечивается, если справедливы оценки

Для рассматриваемых температурных полей указанные условия обычно выполняются.

Если оценки (6.2.45) выполняются, то с помощью метода редукции [13] можно находить приближенные значения

некоторого числа первых неизвестных в регулярной бесконечной системе (6.2.41).

Используя результаты работы [19], можно существенно улучшить метод редукции. На основании их можно доказать, что для системы (6.2.41) справедлив так называемый закон асимптотических выражений

Полагая при достаточно большом в связи с равенствами (6.2.46)

представляем конечную систему уравнений, отвечающую системе (6.2.41), в виде

Такой подход позволяет значительно повысить точность нахождения первых неизвестных в бесконечной системе (6.2.41), а также найти приближенное значение К. В качестве К можно взять одно из двух чисел

Другими методами (методами, основанными на использовании принципа Сен-Венана, методом однородных решений и др.) задача термоупругости для цилиндра конечной длины рассматривалась в работах [41, 67].